1.3.2函数的奇偶性(一)课件

书山有路勤为径，学海无崖苦作舟少壮不努力，老大徒伤悲成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感加上百分之九十九的汗水！教学目标奇函数的概念；偶函数的概念；函数奇偶性的判断；【重点】函数奇偶性的概念【难点】函数奇偶性的判断【教法】自学辅导法、讨论法、讲授法【学法】归纳——讨论——练习【教学手段】多媒体电脑与投影仪引例1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2),f(-1),f(1),及f(-x),并画出它的图象．解:f(-2)=(-2)2=4f(2)=4f(-2)=f(2)f(-1)=(-1)2=1f(1)=1f(-1)=f(1)f(-x)=(-x)2=x2f(-x)=f(x)思考:(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)从解析式上如何体现上述特征？偶函数的特征:①解析式的基本特征：f(-x)=f(x)②图像特征:关于y轴对称.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(evenfunction).1.偶函数的概念2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x)解:f(-2)=(-2)3=-8,f(2)=8f(-2)=-f(2)f(-1)=(-1)3=-1,f(1)=1f(-1)=-f(1)f(-x)=(-x)3=-x3f(-x)=-f(x)思考:通过练习,你发现了什么规律?(-x,-y)(x,y)奇函数的特征:①解析式的基本特征：f(-x)=-f(x)②图像特征:关于原点对称.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数(oddfunction).2.奇函数的概念如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.(1)奇、偶函数定义的逆命题也成立,即若f(x)为奇函数,则f(-x)=－f(x)成立.若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立.(2)判断函数是否具有奇偶性.首先要看函数的定义域是否关于原点对称,即函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提．注意事项[a,b][-b,-a]xo注意：(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;而函数的单调性是函数的局部性质.(2)由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．(3)奇、偶函数定义的逆命题也成立，即若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.(4)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.注：1.奇、偶函数的定义域一定关于原点对称.例1.判断下列函数的奇偶性2(1)(23);yxx定义域不对称的函数无奇偶性，既不是奇函数也不是偶函数。1(2)(1).1xyxx例2.函数是定义在上的偶函数,则该函数的值域是_____.2(1)1ymxnx2[6,]mm221yx[1,)例3.判断下列函数的奇偶性001(1)1;(2)1;(3)(1)1;(4)2.yxxyxyxy定义域对称的非零常数函数仅是偶函数,而零函数既是奇函数又是偶函数.2.奇偶函数图象的性质:(2)偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数.奇偶函数图象的性质可用于：①判断函数的奇偶性.②简化函数图象的画法,(1)奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.n的值求m,1nxxmxf(x)上的奇函数,1,1定义在2:如如:f(x)为偶函数,且其图象与x轴有四个交点,求方程f(x)=0的所有实根之和例1.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x；(2)f(x)=2x4+3x2；解:∵f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数．∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2∴f(x)为偶函数．函数定义域为R．解:函数定义域为R．=f(x)，巩固双基解:函数定义域为R．3(3)()fxx33()fxxxf(x).∴f(x)为奇函数．有既奇又偶的函数来吗？解:函数定义域为[0,+∞)．∵定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数．(4)()fxx-230xy(6)f(x)=x+1解:函数f(x)的定义域为R．∵f(-x)=f(x)=0，又f(-x)=-f(x)=0，∴f(x)为既奇又偶函数．(5)f(x)=0(xR)根据奇偶性,函数可划分为四类:奇函数;偶函数;既奇又偶函数;非奇非偶函数.解:函数定义域为R．∵f(-x)=-x+1，-f(x)=-x-1,∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠–f(x).∴f(x)为非奇非偶函数.判定函数的奇偶性的步骤：(1)先求函数的定义域；①若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数.②若定义域是关于原点对称的区间,进入第二步;(2)计算f(－x)化向f(x)的解析式；①若等于f(x),则函数是偶函数,②若等于－f(x),则函数是奇函数,③若不等于,则函数是非奇非偶函数(3)结论.()fx有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑判定f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1.练习2.判断下列函数的奇偶性∴f(x)为奇函数.解:定义域为{x|x≠0},即f(-x)=-f(x),1()()()1,fxxxxx1(1)()fxxx(3)f(x)=5解:f(x)的定义域为R.∵f(-x)=f(x)=5yox5∴f(x)为偶函数.(4)f(x)=|x+1|-|x-1|22(3)()11fxxx∴f(x)既是偶函数,又是奇函数.解:函数的定义域为{-1,1},(1)(1)(1)0.fff例4.若函数是偶函数,求m的值.2123fxmxmx1.两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)⇔f(x)为奇函数.如果都有f(-x)=f(x)⇔f(x)为偶函数.一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.2.两个性质:3.判断函数奇偶性的步骤①考查函数定义域是否关于原点对称；②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立；③作出结论.作业:课本P42练习2，P46102.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:(1).F(x)=f(x)+f(-x)(2)F(x)=f(x)-f(-x)课堂作业课外作业学案P.22-23例3.已知f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2－2x,求当x＜0时,f(x)的解析式,并画出此函数f(x)的图象.xyo解:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=－f(x).∵当x≥0时,f(x)=x2－2x,∴当x＜0时,-x0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,222,0,()2,0.xxxfxxxx故即-f(x)=(x2+2x),∴f(x)=-x2-2x.