第1章第3节-动量守恒定律在碰撞中的应用

第三节动量守恒定律在碰撞中的应用动量守恒定律和牛顿运动定律在碰撞类问题中，相互作用力往往是变力，过程相当复杂，很难用牛顿运动定律来求解，而应用动量守恒定律只需考虑过程的__________，不必涉及__________，所以动量守恒定律在解决各类碰撞问题中有着极其广泛的应用．初、末状态过程的细节一、弹性碰撞和非弹性碰撞遵循的规律1．弹性碰撞的规律(1)遵循的规律质量为m1的物体，以速度v1与原来静止的物体m2发生完全弹性碰撞，如图1－3－2所示．图1－3－2设碰撞后它们的速度分别为v1′和v2′，碰撞前后的速度方向均在同一直线上．由动量守恒定律得m1v1＝m1v1′＋m2v2′由机械能守恒定律得12m1v21＝12m1v1′2＋12m2v2′2联立两方程解得v1′＝m1－m2m1＋m2v1，v2′＝2m1m1＋m2v1.(2)推论①若m1＝m2，则v1′＝0，v2′＝v1，即质量相等的两物体发生弹性碰撞将交换速度．惠更斯早年的实验研究的就是这种情况．②若m1≫m2，则v1′＝v1，v2′＝2v1.即质量极大的物体与质量极小的静止物体发生弹性碰撞，前者速度不变，后者以前者速度的2倍被撞出去．③若m1≪m2，则v1′＝－v1，v2′＝0，即质量极小的物体与质量极大的静止物体发生弹性碰撞，前者以原速度大小被反弹回去，后者仍静止．乒乓球落地反弹、台球碰到桌壁后反弹、篮球飞向篮板后弹回，都近似为这种情况．2．非弹性碰撞在实际发生的碰撞中，机械能要有一部分转化为内能，这样的碰撞称为非弹性碰撞，所以在非弹性碰撞中，碰撞结束时的总动能要小于碰撞前的总动能．其规律可表示为m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′12m1v21＋12m2v2212m1v1′2＋12m2v2′23．完全非弹性碰撞在非弹性碰撞中，有一种更为特别的情况，即碰撞结束时，两物体的速度相同，这种碰撞被称为完全非弹性碰撞，这种碰撞中，机械能的损失最多．其规律为m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)vΔEk＝12m1v21＋12m2v22－12(m1＋m2)v21.(单选)在光滑水平面上有三个完全相同的小球，它们成一条直线，2、3小球静止，并靠在一起，1球以速度v0射向它们，如图所示．设碰撞中不损失机械能，则碰后三个小球的速度可能是()A．v1＝v2＝v3＝13v0B．v1＝0，v2＝v3＝12v0C．v1＝0，v2＝v3＝12v0D．v1＝v2＝0，v3＝v0D二、碰撞过程遵循的三个原则1．动量守恒，即p1＋p2＝p1′＋p2′.2．动能不增加，即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或p212m1＋p222m2≥p1′22m1＋p2′22m2.3．速度要符合情景：碰撞后，原来在前面的物体的速度一定增大，且原来在前面的物体的速度大于或等于原来在后面的物体的速度，即v前′≥v后′，否则碰撞没有结束．如果碰前两物体相向运动，则碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为0.在讨论碰撞结果等问题时要依据碰撞的三个特点进行分析．2.(单选)甲、乙两球在光滑水平轨道上同向运动，已知它们的动量分别是p甲＝5kg·m/s，p乙＝7kg·m/s，甲追上乙并发生碰撞，碰后乙球的动量变为p乙′＝10kg·m/s，则两球质量m甲、m乙的关系可能是()A．m乙＝m甲B．m乙＝2m甲C．m乙＝4m甲D．m乙＝6m甲【精讲精析】法一：甲、乙两球碰撞前后动量守恒，且动能不增加．由碰撞中动量守恒定律求得p甲′＝2kg·m/s，要使甲追上乙，应该满足v甲v乙，所以p甲m甲p乙m乙，即m乙1.4m甲；碰后p甲′、p乙′均大于零，表示仍同向运动，考虑实际情况，有v乙′≥v甲′，即p甲′m甲≤p乙′m乙，即m乙≤5m甲碰撞过程中，动能不可能增加，即p2甲2m甲＋p2乙2m乙≥p甲′22m甲＋p乙′22m乙，解得m乙≥177m甲由以上结论得177m甲≤m乙≤5m甲，故C正确．法二：由动量守恒定律p甲＋p乙＝p甲′＋p乙′，得p甲′＝2kg·m/s，若两球发生弹性碰撞，则p2甲2m甲＋p2乙2m乙＝p甲′22m甲＋p乙′22m乙，解得m乙＝177m甲，若两球发生完全非弹性碰撞，则v甲′＝v乙′，即p甲′m甲＝p乙′m乙，解得m乙＝5m甲，即乙球的质量范围是177m甲≤m乙≤5m甲，C正确．三、类碰撞问题1．碰撞的特点是动量守恒，动能不增加，相互作用的两个物体在很多情况下具有类似的特点．例如：子弹射入自由木块中，两相对运动物体间的绳子绷紧，物块在放置于光滑水平面上的木板上运动直至相对静止(如图1－3－4所示)这些情景中，系统动量守恒，机械能转化为其他形式的能，末状态，两物体相对静止．这些过程与完全非弹性碰撞具有相同的特征，可应用动量守恒定律，必要时结合能量守恒定律分析求解．2．相互作用的两个物体在很多情况下皆可当成碰撞处理，那么对相互作用中两物体相距恰“最近”、相距恰“最远”或恰上升到“最高点”等一类临界问题，求解的关键都是“速度相等”．具体分析如下：(1)如图甲所示，光滑水平面上的A物体以速度v去撞击静止的B物体，A、B两物体相距最近时，两物体速度必定相等，此时弹簧最短，其压缩量最大．此后A、B被弹簧弹开，至弹簧恢复原长时，A、B组成的系统的总机械能等于作用前的总机械能．(2)如图乙所示，质量为m的滑块静止在光滑水平面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一个质量为m的小球A以一定初速度v滑上滑块，设小球不能越过滑块，则小球到达滑块上的最高点时(即小球竖直方向上的速度为零)，两物体的速度恰好相等，系统一部分动能转化为重力势能，总机械能保持不变；此后小球再滚下滑块，整个过程中系统水平方向动量守恒，机械能守恒．由以上分析知以上两种情景中系统不仅动量守恒(或某一方向上动量守恒)，而且机械能也守恒，所以与弹性碰撞类似，只是物体间相互作用的时间较长．3.(双选)如图所示，光滑的水平面上有A、B两个物体，其中带有轻弹簧的B静止，质量为m的A以速度v0向着B运动，A通过弹簧与B发生相互作用的过程中()A．弹簧恢复原长时A的速度最大B．两物体速度相等时弹簧压缩量最大C．任意时刻A、B的总动量大小总是mv0D．任意时刻B的动量大小总小于mv0解析：选BC.A、B通过弹簧发生作用过程中动量守恒，C项正确；根据碰撞的特点，当两物体碰后以共同的速度运动时，系统动能损失最多，而A、B系统(包括弹簧)机械能守恒，因此，两物体A、B速度相等时，弹簧的弹性势能最大，即弹簧压缩量最大，B选项正确；从A压缩弹簧到弹簧恢复原长的过程中弹簧弹力一直对A做负功，所以弹簧恢复原长时，A的速度最小，A项错误；由动量守恒定律和机械能守恒定律可得，当mA＝mB时，弹簧恢复原长时，B的动量大小为mv0，D选项错误．光滑水平面上放着一质量为M的槽，槽与水平面相切且光滑，如图所示，一质量为m的小球以v0向槽运动．(1)若开始时槽固定不动，求小球上升的高度(槽足够高)．(2)若开始时槽不固定，则小球又能上升多高．某方向上动量守恒的问题例2【精讲精析】槽固定时，球沿槽上升过程中机械能守恒，达最高点时，动能全部转为球的重力势能；槽不固定时，小球沿槽上升过程中，槽向右加速运动，当小球上升到最高点时，两者速度相同．球与槽组成的系统水平方向上不受外力，因此水平方向动量守恒．由于该过程中只有两者间弹力和小球重力做功，故系统机械能守恒．(1)槽固定时，设球上升的高度为h1，由机械能守恒定律得mgh1＝12mv20，解得h1＝v202g.(2)槽不固定时，设球上升的最大高度为h2，此时两者速度相同而且方向水平，设为v，由动量守恒得mv0＝(m＋M)v，再由机械能守恒得12mv20＝12(m＋M)v2＋mgh2，解得槽不固定时小球上升的高度h2＝Mv202m＋Mg.【方法总结】(1)在判断动量是否守恒时，应特别注意区分动量守恒的条件与机械能守恒的条件．(2)在应用动量守恒定律列式时，特别是某一方向上动量守恒的列式，应特别注意系统初、末状态的动量应为在该方向上的动量，即把动量分解到该方向上．光滑的水平地面上放着一块质量为M、长度为d的木块，一个质量为m的子弹以水平速度v0射入木块，当子弹从木块中出来后速度变为v1，子弹与木块的平均摩擦力为f.求：(1)子弹打击木块的过程中摩擦力对子弹做功多少？摩擦力对木块做功多少？(2)子弹从木块中出来时，木块的位移为多少？(3)在这个过程中，系统产生的内能为多少？子弹打木块模型例3【思路点拨】把子弹和木块看成一个系统，利用以下知识解答：(1)系统水平方向动量守恒．(2)系统的能量守恒．(3)对木块和子弹分别利用动能定理．【自主解答】(1)如图1－3－8所示，由于水平面光滑则子弹和木块组成的系统水平方向动量守恒，可得图1－3－8mv0＝mv1＋Mv2①解之得v2＝mv0－v1M.对子弹利用动能定理可得－fs1＝12m(v21－v20)②即摩擦力对子弹做的功为W1＝12m(v21－v20)对木块利用动能定理可得fs2＝12Mv22－0③代入v2值得fs2＝m2v0－v122M.即摩擦力对木块做的功为W2＝m2v0－v122M.(2)由③式可得木块的位移为s2＝m2v0－v122Mf.(3)由能量守恒可知系统产生的内能等于系统机械能的减少量．由②③式可得Q＝12mv20－12mv21－12Mv22＝fs1－fs2＝fd即产生的内能等于摩擦力与相对路程的乘积．变式训练如图所示，质量m1＝0.3kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L＝1.5m，现有质量m2＝0.2kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v0＝2m/s从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持相对静止．物块与车面间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10m/s2，求：(1)物块在车面上滑行的时间t.(2)要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度v0′不超过多少？解析：(1)设物块与小车共同速度为v，以水平向右为正方向，根据动量守恒定律有m2v0＝(m1＋m2)v.设物块与车面间的滑动摩擦力为f，对物块应用动量定理有－ft＝m2v－m2v0.又f＝μm2g.解得t＝m1v0μm1＋m2g.代入数据得t＝0.24s.(2)要使物块恰好不从小车右端滑出，须使物块到小车最右端时与小车有共同的速度，设为v′，则m2v0′＝(m1＋m2)v′.由功能关系有12m2v0′2＝12(m1＋m2)v′2＋μm2gL.代入数据解得v0′＝5m/s故要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度v0′应不超过5m/s.