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抛物线(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1.[2013·济南质检]如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上，那么抛物线的方程是( )A.y2＝－16x B.y2＝12xC.y2＝16x D.y2＝－12x答案：C解析：由题设知直线3x－4y－12＝0与x轴的交点(4,0)即为抛物线的焦点，故其方程为y2＝16x.2.[2013·聊城模拟]点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A.y＝12x2B.y＝12x2或y＝－36x2C.y＝－36x2D.y＝x2或y＝－x2答案：D解析：将y＝ax2化为x2＝y，当a0时，准线y＝，由已知得3＋＝6，∴＝12，∴a＝.当a0时，准线y＝－，由已知得|3＋|＝6，∴a＝－或a＝(舍)．∴抛物线方程为y＝或y＝－x2，故选D.3.[2013·南通模拟]已知点A(3,4)，F是抛物线y2＝8x的焦点，M是抛物线上的动点，当|AM|＋|MF|最小时，M点坐标是( )A.(0,0) B.(3,2)C.(2,4) D.(3，－2)答案：C解析：由题知点A在抛物线内．设M到准线的距离为|MK|，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MK|，当|MA|＋|MK|最小时，M点坐标是(2,4)．4.抛物线y2＝－12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于( )A.3 B.2C.2 D.答案：A解析：抛物线的准线为x＝3，双曲线的两条渐近线y＝±x.所求三角形的面积S＝×2×3＝3.故应选A.5.[2013·太原调研]设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A.y2＝±4x B.y2＝±8xC.y2＝4x D.y2＝8x答案：B解析：由抛物线方程知焦点F(，0)，∴直线l为y＝2(x－)，与y轴交点A(0，－)．∴S△OAF＝·|OA|·|OF|＝·|－|·||＝＝4.∴a＝±8，∴抛物线方程为y2＝±8x.6.[2013·德州模拟]抛物线y＝x2上一点到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是( )A.(，) B.(1,1)C.(，) D.(2,4)答案：B解析：方法一：设抛物线上任一点为(x，y)，则由点到直线的距离得d＝＝＝＝≥.当x＝1时，取得最小值，此时点的坐标为(1,1)．方法二：设2x－y＋m＝0与y＝x2相切，则x2－2x－m＝0.Δ＝4＋4m＝0，∴m＝－1，此时x＝1，∴点的坐标为(1,1)．方法三：(导数法)y＝x2的导数为y′＝2x，设所求点为P(x0，y0)，则2x0＝2.∴x0＝1，∴P(1,1)．二、填空题7.[2013·日照模拟]已知抛物线y2＝2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．答案：x＝－1解析：直线方程为y＝x－，由得y2－2py－p2＝0.设A和B的纵坐标分别为y1和y2，由韦达定理知y1＋y2＝2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，所以p＝2.于是抛物线的准线方程为x＝－1，也可用点差法快速破解．8.已知抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________.答案：6解析：利用抛物线的定义可知，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤6，当AB过焦点F时取最大值为6.9.[2012·北京高考]在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．答案：解析：由已知得抛物线的焦点坐标为(1,0)，直线l的方程为y＝tan60°(x－1)，即y＝x－，联立得由①得x＝y＋1， ③将③代入②并整理得y2－y－4＝0，解得y1＝2或y2＝－.又点A在x轴上方，∴A(3,2)．∴S△OAF＝×|OF|×|y1|＝×1×2＝.三、解答题10.已知如图，抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，A在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线方程；(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1)抛物线y2＝2px(p0)的准线为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2.∴抛物线的标准方程为y2＝4x.(2)由(1)得点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)，∵F(1,0)，∴kFA＝.∵MN⊥FA，∴kMN＝－.则FA所在直线的方程为y＝(x－1)，MN所在直线的方程为y－2＝－x.解方程组得∴N(，)．11.[2013·东城检测]已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过点F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，求证：AQ⊥BQ.解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，l：y＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线的距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x2＝8y.(2)证明：因为直线AB与x轴不垂直，设AB：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x.所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1＝x1，k2＝x2，k1·k2＝x1·x2＝x1·x2＝－1.所以AQ⊥BQ.12.[2013·安徽蚌埠模拟]已知定点A(1,0)和直线x＝－1上的两个动点E，F，且⊥，动点P满足∥，∥(其中O为坐标原点)．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C相交于两个不同的点M，N，若·0，求直线l的斜率的取值范围．解：(1)设P(x，y)，E(－1，yE)，F(－1，yF)．∵·＝(－2，yE)·(－2，yF)＝yE·yF＋4＝0，∴yE·yF＝－4.①又＝(x＋1，y－yE)，＝(1，－yF)，且∥，∥，∴y－yE＝0且x(－yF)－y＝0.∴yE＝y，yF＝－，代入①得y2＝4x(x≠0)，∴动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≠0)．(2)设l：y－2＝kx(易知k存在)，联立y2＝4x消去x，得ky2－4y＋8＝0.令M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1·y2＝，·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝－＋1＋y1y2＝()2－＋y1y2＋1＝＋10，∴－12k0，则实数k的取值范围为(－12,0)．