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1第一章特殊平行四边形【知识考点】一、菱形的性质与判定1．菱形的性质:轴是轴对称，有两条对称菱形既是中心对称，又一组对角且每一条直线，角线相互对角线：菱形的两条对边：菱形的四条边都四边形的一切性质平行四边形：具有平行2____________________.__________1菱形的判定：是矩形的且对角线是矩形的对角线对角线是矩形的有三个角是是矩形的有一个角是角__________________________________________________________________________________._________________________温馨提示：为什么菱形的判定定理中没有两组对角的事？二、矩形的性质与判定1．矩形的性质:轴是轴对称，有两条对称矩形既是中心对称，又相等且相互平分对角线：矩形的对角线直角角：矩形的四个角都是行且相等边：矩形的两组对边平四边形的一切性质平行四边形：具有平行212．矩形的判定：是矩形的且对角线是矩形的对角线对角线是矩形的有三个角是是矩形的有一个角是角__________________________________________________________________________________._________________________温馨提示：为什么矩形的判定定理中没有两组对边的事？三、正方形的性质与判定21．正方形的性质:称轴又是轴对称，有四条对正方形既是中心对称，一组对角每一条直线，且对角线相互对角线：正方形的两条，四条边都边：正方形的对边平行四边形的一切性质平行四边形：具有平行2__________________________.__________1温馨提示：正方形是否具有矩形和菱形的一切性质？2．正方形的判定：是正方形且相等的对角线互相平分、垂直是正方形的对角线互相垂直且相等是正方形对角线相等的是正方形对角线互相垂直的对角线是正方形的边：有一组是正方形的角：有一个角是是正方形形的定义：既是矩形又是菱_________________________________________________________________________________________________._______________________________温馨提示：正方形的判定中为什么关于对角线的判定会这么多，请思考？四、平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系温馨提示：请用画图的方法确定四者之间的关系，要有整体的观点来看待！【重点难点】几种特殊的平行四边形的特征及识别方法一览表:边角对角线对称性识别方法3对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等中心对称和轴对称①三个角是直角的四边形②一个角是直角的平行四边形③对角线相等的平行四边形对边平行四边相等对角相等互相垂直平分且平分对角中心对称轴对称①四条边相等的四边形②邻边相等的平行四边形③对角线垂直的平行四边形对边平行四边相等四个角都是直角互相垂直平分且相等，平分对角中心对称轴对称①邻边相等的矩形是正方形②一个角是直角的菱形③平行四边形+直角+邻边相等【讲一讲】例1．如图，BD是△ABC中∠ABC的平分线，DE//BC交AB于E，DF//AB交BC于F.试判断四边形BFDE的形状并说明理由.分析：此题条件中有角分线有平行线，一般会有等腰三角形存在.解：由DE//BC，DF//AB得到DE//BF，DF//EB，∠2=∠3.因此四边形EBFD是平行四边形又BD平分∠ABC则∠1=∠2可得∠1=∠3=∠2因此BE=ED所以四边形BFDE是菱形.例2．已知如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F。试判断四边形AFCE的形状并说明理由.解：由于EF是AC的垂直平分线，得到AE=EC，∠1=∠2由平行四边形ABCD可得AE//FC，因此∠1=∠3，FABCDEO1234所以∠3=∠2，在直角三角形EOC和FOC中，∠OEC=∠OFC，得到CE=CF，因此AE=CF由AE=FC且AE//FC得到四边形AFCE是平行四边形由于一组邻边相等的平行四边形是菱形因此四边形AFCE是菱形例3．如图，点M是矩形ABCD的边AD中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分别为E、F。（1）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽应满足什么条件？（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，四边形PEMF变为正方形？为什么？分析：（1）四边形PEMF中已经有两个直角了，若为矩形，还需再有一个直角，即∠BMC=900由于矩形是轴对称图形，因此∠AMB=∠DMC=450，即AB=AM=MD（2）四边形PEMF为正方形，只需PE=PF，因此P是BC中点。解：（1）当BC=2AB时，四边形PEMF为矩形由于M是AD中点，矩形ABCD，得到三角形ABM和DCM都是等腰直角三角形，∠AMB=∠DMC=450因此∠BMC=900，又PE⊥MC，PF⊥BM，所以四边形PEMF为矩形（2）当P为BC中点，BC=2AB时，矩形是轴对称图形，BM=CM。又三角形PBM和PCM的面积相等，因此得到PE=PF，所以四边形PEMF为正方形例4．已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：AM=BE。分析：菱形的四条边都相等，且对角线互相垂直且平分一组对角因此在解决菱形的有关问题时，经常要用到菱形的这些特殊性质解：设∠BAE为x度，∠EAD为2x度BMADCEPABCDEFM4132PABCDEFM41325由菱形ABCD可知AD//BC且BD平分∠ABC，则∠AEB=∠EAD=（2x）0，∠ABD=∠DBC=（x）0在三角形ABE中，x+2x+2x=180x=36△ABM中，∠ABM=∠BAM=360，AM=BM△EBM中，∠BME=∠BEM=720，BM=BE所以AM=BE【练习】（一）选择题1．对角线相等的四边形是()A.矩形B.正方形C.等腰梯形D.矩形、正方形、等腰梯形作为结论都不对2．下面几种说法：①正方形是有一组对边平行的四边形;②矩形是菱形;③矩形是正方形④正方形是矩形.那么()A.①②③④都不正确；B.只有②是错误的；C.只有④是正确的；D.只有②③是错的3．有三个角相等的四边形是A.矩形B.菱形C.正方形D.矩形、菱形、正方形作为结论都不对4．下面几种说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行一组邻边相等的四边是菱形；③两条对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，那么正确的说法是（）A.①②③B.②③C.③④D.②④5．下列图形既是中心对称又是轴对称图形的是()A.平行四边形和矩形;B.矩形和菱形;C.正三角形和正方形;D.平行四边形和正方形6．矩形两条对角线交点到小边距离比到大边距离多4厘米，若矩形周长为56厘米，则矩形两邻边长为()A.18和10厘米B.16和12厘米C.8和10厘米D.5和9厘米6（二）解答题1．菱形ABCD中，∠A=60°，对角线BD=2，求菱形的周长。2．如图，ABCD是正方形，对角线AC与BD交于O，MN//AB.且分别与AO、BO交于M、N.猜测线段BM与CN之间的关系.并证明你的猜测.3．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于O点，AE平分∠BAD.若∠EAO=15°，求∠BOE的度数.4．如图，菱形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点，若AE=AF=EF=AB.求∠C的度数。5．如图，以△ABC的三边为边在BC边的同侧作等边三角形△DBA，△EBC，△FAC.7（1）试说明四边形AFED是平行四边形（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形.说明理由.（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是正方形？（4）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED不存在？参考答案（一）选择题DCDCBA(二)解答题1．由菱形ABCD可知AB=AD=DC=CB.在△ABD中，∠A=60°，则△ABD是等边三角形.得到AB=BD=2，所以菱形的周长为8.2．猜测①BM=CN，②BM⊥CN。将△MOB绕O点逆时针旋转90°得到△ONC3．矩形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，BDBOACAO21,21且AC=BD.则OA=OB又AE平分∠BAD，则∠BAE=45°，∠BEA=45°所以AB=BE又∠EAO=15°，8则∠BAO=60°所以△ABO是等边三角形得到∠ABO=60°，OB=AB因此∠OBE=30°，OB=BE所以∠BOE=75°.4．10005．提示（1）△ABC绕C点顺时针方向旋转60度，得到△FEC；△ABC绕B点逆时针方向旋转60度，得到△DBE；（2）当△ABC满足∠BAC=1500时，四边形AFED是矩形。（3）当△ABC满足∠BAC=1500且AB=AC时，四边形AFED是正方形。（4）当△ABC满足∠BAC=600时，四边形AFED不存在。