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教学课件数学八年级下册BS第一章三角形的证明1.3线段的垂直平分线已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高,并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF.求证：△ABC≌△DEF.ABCPDEFQABCPDEFQ变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF，△ABC与△DEF全等吗？请说明思路.变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF，△ABC与△DEF全等吗？请说明思路.变式3：请你把例题中的∠BAC＝∠EDF改为另一个适当条件，使△ABC与△DEF仍能全等，并给出证明.我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.你能证明这一结论吗?定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C，且AC=BC,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.ACBPMNACBPMN证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°.又∵AC=BC,PC=PC，∴△APC≌△BPC(SAS).∴PA=PB.如果点P与点C重合，那么结论显然成立.几何语言描述ACBPMN这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图，∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).思考：你能写出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题吗?逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.它是真命题吗?如果是,请给出证明.已知:如图,PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.ABPACBP证明：（方法一）过点P作PC⊥AB,垂足为C.∵PC⊥AB，∴△APC和△BPC都是直角三角形.∵PC=PC,PA=PB，∴Rt△APC≌Rt△BPC(HL)，∴AC=BC(全等三角形的对应边相等)，∴点P在线段AB的垂直平分线上.ACBP.（方法二）把线段AB的中点记为C,连接PC.∵C为AB的中点，∴AC=BC.又∵PA=PB,PC=PC，∴△APC≌△BPC(SSS)，∴∠PCA=∠PCB=90°，∴PC⊥AB，即点P在线段AB的垂直平分线上.逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.几何语言描述：如图,∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.ABP例1已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC．证明：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上），同理，点O在线段BC的垂直平分线上,∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）．1.如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED=cm;如果∠ECD=60°,那么∠EDC=°.EDABC7602.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.BAEDC解：∵DE为AB的垂直平分线，∴AE=BE.∵△BCE的周长等于50，∴BE+EC+BC=50，即AE+EC+BC=50.∴AC+BC=50.∵AC=27，∴BC=23.比一比：你的写作过程完整吗？3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.求证：PB=PC.PBDCA证明：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上.∵BD=CD，∴点D在线段BC的垂直平分线上，∴AD所在的直线是线段BC的垂直平分线.∵P是AD上一点，∴PB=PC.3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点求证：PB=PC.深入探索：你还有其他的证明方法吗？PBDCA1.线段垂直平分线的定理及证明2.线段垂直平分线的逆定理及证明3.两个定理之间的区别与联系