华师大版第22章二次根式电子课本（新）

第22章二次根式...................................................................................2§22.1二次根式.............................................................................3阅读材料........................................................................................5§22.2二次根式的乘除法................................................................51．二次根式的乘法......................................................................52．积的算术平方根......................................................................63．二次根式的除法......................................................................7§22.3二次根式的加减法...................................................................9小结.....................................................................................................12复习题.................................................................................................12第22章二次根式人造地球卫星要冲出地球，围绕地球运行，发射时必须达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙速度．计算第一宇宙速度的公式是gR，其中g为重力加速度，R为地球半径．§22.1二次根式在第12章我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个记号a．回顾当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根．当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．当a是负数时，a没有意义．概括a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a．即有：（1）a≥0（a≥0）；（2）2)(a=a（a≥0）．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．注意在二次根式a中，字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数．例x是怎样的实数时，二次根式1x有意义？分析要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．解被开方数x-1≥0，即x≥1．所以，当x≥1时，二次根式1x有意义．思考2a等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：22=4=2；2)2(=4=2；23=9=3；2)3(=9=3；……概括当a≥0时，aa2；当a＜0时，aa2．这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：22)2(4xx=2x（x≥0）；2224)(xxx．练习1．计算：（1）2)8(；（2）2)9(；（3）81；（4）100．2．x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？（1）3x；（2）52x；（3）x1；（4）x15．3．2)(a与2a是一样的吗？说说你的理由，并与同学交流．习题22.11．x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？（1）1x；（2）23x；（3）123x；（4）x231．2．计算：（1）2)7(；（2）2)32(；（3）94；（4）49a．3．已知2＜x＜3，化简：3)2(2xx．4．边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为3a的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．（第4题）阅读材料蚂蚁和大象一样重吗同学们一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧！蚂蚁能举起比它的体重重许多倍的火柴棒，而大象举起的却是比自己体重轻许多倍的一截圆木，结果蚂蚁获得了举重冠军！我们这里谈论的话题是：蚂蚁和大象一样重吗？我们知道，即使是最大的蚂蚁与最小的大象，它们的重量明显不是一个数量级的．但是下面的“推导”却会让你大吃一惊：蚂蚁和大象一样重！设蚂蚁重量为x克，大象的重量为y克，它们的重量和为2a克，即x+y=2a．两边同乘以（x-y），得(x+y)(x-y)=2a(x-y)．即ayaxyx2222．可变形为ayyaxx2222．两边都加上2a，得22)()(ayax．于是22)()(ayax，可得ayax，所以yx．这里竟然得出了蚂蚁和大象一样重的结论，岂不荒唐！那么毛病究竟出在哪里呢？亲爱的同学，你能找出来吗？§22.2二次根式的乘除法1．二次根式的乘法计算：（1）254与254；（2）916与916．思考对于32与32呢？从计算的结果我们发现，32=32这是什么道理呢？事实上，根据积的乘方法则，有32)3()2()32(222，并且32＞0，所以32是2×3的算术平方根，即32=32一般地，有abba（a≥0，b≥0）．这就是说，两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘．注意，在上式中，a、b都表示非负数．在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数．例1计算：（1）67；（2）3221．解（1）426767．（2）41632213221．2．积的算术平方根上面得到的等式abba（a≥0，b≥0），也可以写成baab（a≥0，b≥0）．这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积．利用这个性质可以进行二次根式的化简．例2化简，使被开方数不含完全平方的因式（或因数）：（1）12；（2）34a；（3）ba4．解（1）3212232232．（2）aaa2344aa22aa2．（3）baba44ba22)(ba2．例2各题中给出的二次根式，被开方数的因式中有一些幂的指数不小于2，即含有完全平方的因式（或因数），如（1）中32122，（2）中aaa22324，（3）中baba224)(，通常可根据积的算术平方根的性质，并利用aa2（a≥0），将这个因式（或因数）“开方”出来．做一做计算下列各式，并将所得的结果化简：（1）63；（2）aa153．3．二次根式的除法讨论两个二次根式相除，怎样进行呢？商的算术平方根又等于什么？试参考前两小节的研究，和同伴讨论，提出你的见解．概括一般地，有ba________（a≥0，b＞0）．这就是说，两个二次根式相除，___________________________．例3计算：（1）315；（2）624．解（1）5315315．（2）24624624．小题（2）也可先将分子化简为62，从而容易算得结果．上面得到的等式，也可以写成ba______（a≥0，b＞0）．这就是说，商的算术平方根，等于__________________．利用这个性质可以进行二次根式的化简．例4化简21．（要求分母中不含二次根式，并且二次根式中不含分母）解2222222221212122．这里，二次根式21的被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将它配成完全平方数，再“开方”出来．按照例2和例4的要求化简后的二次根式，被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式．二次根式的除法，也可采用化去分母中根号的办法来进行，只要将分子、分母同乘以一个恰当的因式（也是二次根式）就可以了．如例4，将分子、分母同乘以2，得22)2(22221212．练习1．化简：（1）27；（2）325a；（3）31；（4）52．2．计算：（1）3521；（2）bb62；（3）208；（4）aa3965．3．现有一张边长为5cm的正方形彩纸，欲从中剪下一个面积为其一半的正方形，问剪下的正方形边长是多少？（答案先用最简二次根式表示，再算出近似值，精确到0.01）习题22.21．化简：（1）250；（2）432x；（3）714；（4）65．2．计算：（1）3018；（2）7523；（3）368abab；（4）9840；（5）5120；（6）xx823．3．某液晶显示屏的对角线长36cm，其长与宽之比为4∶3，试求该液晶显示屏的面积．4．本章导图中给出了第一宇宙速度的计算公式：gR，其中g通常取2/8.9秒米，R约为6370千米．试计算第一宇宙速度．（结果用科学记数法表示，并保留两个有效数字）§22.3二次根式的加减法试一试计算：（1）3233；（2）aaa423．概括与整式中同类项的意义相类似，我们把像33与32，a3、a2与a4这样的几个二次根式，称为同类二次根式．二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是将同类二次根式合并．例1计算：3322323．解3322323)333()2223(322．思考计算：12188．分析先将各二次根式化简：2224248，18______________________，12______________________．解12188=22________+___________=____________________．二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并．例2计算：（1）451227；（2）xxx916425．解（1）451227533233533．（2）xxx916425xxx3425x)3425(x27．例3计算：（1）)12)(12(；（2）)2)(2(baba．解（1）)12)(12(1121)2(22．（2）)2)(2(babababa2)2()(22．练习1．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？（1）122，27；（2）50，83；（3）ab2，ab83；（4）ba23，227ab．2．下列二次根式中，哪些与24是同类二次根式？21,50,27,24,12．3．计算：（1）433332；（2）75335．4．计算：（1）)23)(23(；（2）)32)(32(aa．习题22.31．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？（1）50,203；（2）372,28；（3）nmnm2,2；（4）yxxy2527,43．2．计算：（1）245253；（2）12273752；（3）2231872．3．计算：（1）)1)(1(xx；（2）))((baba．4．用一根铁丝做成一个正方形，使它恰好能嵌入一个直径为20cm的圆中（如图），求这根铁丝的长度．（结果精确到0.1cm）（第4题）5．已知二次根式12a与7是同类二次根式，试写出三个a的可能取值．小结一、知识结构二、概括1理解符号a的意义是研究二次根式的关键．a表示非负数a的算术平方根，即有：（1）a≥0(a≥0）；（2）2)(a=a（a≥0）．要注意二次根式中字母的取值范围：被开方数必须是非负数．2二次根式的化简是进行二次根式运算的重要手段，二次根式的化简主要包括两个方面：（1）如果被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来．（2）如果被开方数中含有完全平方的因式（或因数），可利用积的算术平方根的性质，将它“开