2015年高考数学文真题分类汇编专题06数列解析

1.【2015高考新课标1，文7】已知{}na是公差为1的等差数列，nS为{}na的前n项和，若844SS，则10a（）（A）172（B）192（C）10（D）12【答案】B【解析】∵公差1d，844SS，∴11118874(443)22aa，解得1a=12，∴1011199922aad，故选B.【考点定位】等差数列通项公式及前n项和公式【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.2.【2015高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________【答案】5【解析】若这组数有21n个，则11010na，212015na，又12112nnaaa，所以15a；若这组数有2n个，则1101022020nnaa，22015na，又121nnnaaaa，所以15a；故答案为5【考点定位】等差数列的性质.【名师点睛】1.本题考查等差数列的性质，这组数字有可能是偶数个，也有可能是奇数个.然后利用等差数列性质mnpqmnpqaaaa.2.本题属于基础题，注意运算的准确性.3.【2015高考广东，文13】若三个正数a，b，c成等比数列，其中526a，526c，则b．【答案】1【解析】因为三个正数a，b，c成等比数列，所以25265261bac，因为0b，所以1b，所以答案应填：1．【考点定位】等比中项．【名师点晴】本题主要考查的是等比中项，属于容易题．解题时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念，即若a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项，即2Gab．4.【2015高考福建，文16】若,ab是函数20,0fxxpxqpq的两个不同的零点，且,,2ab这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于________．【答案】9【解析】由韦达定理得abp，abq，则0,0ab，当,,2ab适当排序后成等比数列时，2必为等比中项，故4abq，4ba．当适当排序后成等差数列时，2必不是等差中项，当a是等差中项时，422aa，解得1a，4b；当4a是等差中项时，82aa，解得4a，1b，综上所述，5abp，所以pq9．【考点定位】等差中项和等比中项．【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题．5.【2015高考浙江，文10】已知na是等差数列，公差d不为零．若2a，3a，7a成等比数列，且1221aa，则1a，d．【答案】2,13【解析】由题可得，2111(2)()(6)adadad，故有1320ad，又因为1221aa，即131ad，所以121,3da.【考点定位】1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.【名师点睛】本题主要考查等差数列的定义和通项公式.主要考查学生利用等差数列的定义以及等比中项的性质，建立方程组求解数列的首项与公差.本题属于容易题，主要考查学生正确运算的能力.6.【2015高考新课标1，文13】数列na中112,2,nnnaaaS为na的前n项和，若126nS，则n.【答案】6【解析】∵112,2nnaaa，∴数列na是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612nnS，∴264n，∴n=6.考点：等比数列定义与前n项和公式【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程，解出首项与公比，利用等比数列性质可以简化计算.7.【2015高考安徽，文13】已知数列}{na中，11a，211nnaa（2n），则数列}{na的前9项和等于.【答案】27【解析】∵2n时，21,21121aaaann且∴1aan是以为首项，21为公差的等差数列∴2718921289199S【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前n项和公式的应用.【名师点睛】能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决本题的关键，这需要考生平时多加积累，同时本题还考查了等差数列的基本公式的应用，考查了考生的基本运算能力.8.【2015高考福建，文17】等差数列na中，24a，4715aa．（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设22nanbn，求12310bbbb的值．【答案】（Ⅰ）2nan；（Ⅱ）2101．【解析】（I）设等差数列na的公差为d．由已知得11143615adadad，解得131ad．所以112naandn．（II）由（I）可得2nnbn．所以231012310212223210bbbb23102222123101021211010122112255112532101．【考点定位】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．【名师点睛】确定等差数列的基本量是1,ad．所以确定等差数列需要两个独立条件，求数列前n项和常用的方法有四种：（1）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和，在前n项相加的过程中相互抵消）；（2）错位相减法（适合于等差数列乘以等比数列型）；（3）分组求和法(根据数列通项公式的特点，将其分解为等差数列求和以及等比数列求和)；（4）奇偶项分析法（适合于整个数列特征不明显，但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征）．9.【2015高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列na满足1210aa，432aa．（I）求na的通项公式；（II）设等比数列nb满足23ba，37ba，问：6b与数列na的第几项相等？【答案】（I）22nan；（II）6b与数列na的第63项相等.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（I）利用等差数列的通项公式，将1234,,,aaaa转化成1a和d，解方程得到1a和d的值，直接写出等差数列的通项公式即可；（II）先利用第一问的结论得到2b和3b的值，再利用等比数列的通项公式，将2b和3b转化为1b和q，解出1b和q的值，得到6b的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n的值，即项数.试题解析：（Ⅰ）设等差数列na的公差为d.因为432aa，所以2d.又因为1210aa，所以1210ad，故14a.所以42(1)22nann(1,2,)n.（Ⅱ）设等比数列nb的公比为q.因为238ba，3716ba，所以2q，14b.所以61642128b.由12822n，得63n.所以6b与数列na的第63项相等.考点：等差数列、等比数列的通项公式.【名师点晴】本题主要考查的是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，属于中档题．本题通过求等差数列和等比数列的基本量，利用通项公式求解．解本题需要掌握的知识点是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，即等差数列的通项公式：11naand，等比数列的通项公式：11nnaaq．10.【2015高考安徽，文18】已知数列na是递增的等比数列，且14239,8.aaaa（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设nS为数列na的前n项和，11nnnnabSS，求数列nb的前n项和nT.【答案】（Ⅰ）12nna（Ⅱ）112221nn【解析】（Ⅰ）由题设可知83241aaaa，又941aa，可解的8141aa或1841aa（舍去）由314qaa得公比2q，故1112nnnqaa.（Ⅱ）1221211)1(1nnnnqqaS又1111111nnnnnnnnnnaSSbSSSSSS所以1113221211111...1111...nnnnnSSSSSSSSbbbT12111n.【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质，等比数列的前n项和，以及利用裂项相消法求和.【名师点睛】本题利用“若qpnm，则qpnmaaaa”，是解决本题的关键，同时考生发现1111111nnnnnnnnnnaSSbSSSSSS是解决本题求和的关键,本题考查了考生的基础运算能力.11.【2015高考广东，文19】（本小题满分14分）设数列na的前n项和为nS，n．已知11a，232a，354a，且当2n时，211458nnnnSSSS．（1）求4a的值；（2）证明：112nnaa为等比数列；（3）求数列na的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）11212nnan．【解析】试题分析：（1）令2n可得4a的值；（2）先将211458nnnnSSSS（2n）转化为2144nnnaaa，再利用等比数列的定义可证112nnaa是等比数列；（3）先由（2）可得数列112nnaa的通项公式，再将数列112nnaa的通项公式转化为数列12nna是等差数列，进而可得数列na的通项公式．试题解析：（1）当2n时，4231458SSSS，即435335415181124224a，解得：478a（2）因为211458nnnnSSSS（2n），所以21114444nnnnnnSSSSSS（2n），即2144nnnaaa（2n），因为3125441644aaa，所以2144nnnaaa，因为2121111111114242212142422222nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaa，所以数列112nnaa是以21112aa为首项，公比为12的等比数列（3）由（2）知：数列112nnaa是以21112aa为首项，公比为12的等比数列，所以111122nnnaa即1141122nnnnaa，所以数列12nna是以1212a为首项，公差为4的等差数列，所以2144212nnann，即111422122nnnann，所以数列na的通项公式是11212nnan考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，属于难题．本题通过将nS的递推关系式转化为na的递推关系式，利用等比数列的定义进行证明，进而可得通项公式，根据