2015年高考数学文真题分类汇编专题08直线与圆解析

1.【2015高考北京，文2】圆心为1,1且过原点的圆的方程是（）A．22111xyB．22111xyC．22112xyD．22112xy【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为2r，则圆的标准方程为22112xy，故选D.【考点定位】圆的标准方程.【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“过原点”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程，即圆心,ab，半径为r的圆的标准方程是222xaybr．2.【2015高考四川，文10】设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()(A)(1，3)(B)(1，4)(C)(2，3)(D)(2，4)【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为x＝ty＋m，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r取值范围即可.属于难题.3.【2015高考湖南，文13】若直线3450xy与圆2220xyrr相交于A,B两点，且120oAOB（O为坐标原点），则r=_____.【答案】【解析】如图直线3450xy与圆2220xyrr（＞）交于A、B两点，O为坐标原点，且120oAOB，则圆心（0，0）到直线3450xy的距离为12r，2251234rr，=2.故答案为2.【考点定位】直线与圆的位置关系【名师点睛】涉及圆的弦长的常用方法为几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则222().2lrd本题条件是圆心角，可利用直角三角形转化为弦心距与半径之间关系,再根据点到直线距离公式列等量关系.4.【2015高考安徽，文8】直线3x+4y=b与圆222210xyxy相切，则b=（）（A）-2或12（B）2或-12（C）-2或-12（D）2或12【答案】D【解析】∵直线byx43与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴224343b＝12b或12,故选D.【考点定位】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.【名师点睛】在解决直线与圆的位置关系问题时，有两种方法；方法一是代数法：将直线方程与圆的方程联立，消元，得到关于x（或y）的一元二次方程，通过判断0;0;0来确定直线与圆的位置关系；方法二是几何法：主要是利用圆心到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，然后再将d与圆的半径r进行判断，若rd则相离；若rd则相切；若rd则相交；本题考查考生的综合分析能力和运算能力.5.【2015高考重庆，文12】若点(1,2)P在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________.【答案】250xy【解析】由点(1,2)P在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：225xy，所以该圆在点P处的切线方程为125xy即250xy，故填：250xy.【考点定位】圆的切线.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.6.【2015高考湖北，文16】如图，已知圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且2AB.（Ⅰ）圆C的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_________.【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2xy；（Ⅱ）12.xOyTCAB第16题图【解析】设点C的坐标为00(,)xy，则由圆C与x轴相切于点(1,0)T知，点C的横坐标为1，即01x，半径0ry.又因为2AB，所以222011y，即02yr，所以圆C的标准方程为22(1)(2)2xy，令0x得：(0,21)B.设圆C在点B处的切线方程为(21)kxy，则圆心C到其距离为：222121kdk，解之得1k.即圆C在点B处的切线方程为x(21)y，于是令0y可得x21，即圆C在点B处的切线在x轴上的截距为12，故应填22(1)(2)2xy和12.【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题,属中高档题.【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点C的横坐标.7.【2015高考广东，文20】（本小题满分14分）已知过原点的动直线l与圆1C:22650xyx相交于不同的两点，．（1）求圆1C的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L:4ykx与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）3,0；（2）492322yx335x；（3）存在，752752k或34k．【解析】试题分析：（1）将圆1C的方程化为标准方程可得圆1C的圆心坐标；（2）先设线段的中点的坐标和直线l的方程，再由圆的性质可得点满足的方程，进而利用动直线l与圆1C相交可得0x的取值范围，即可得线段的中点的轨迹C的方程；（3）先说明直线L的方程和曲线C的方程表示的图形，再利用图形可得当直线L:4ykx与曲线C只有一个交点时，k的取值范围，进而可得存在实数k，使得直线L:4ykx与曲线C只有一个交点．试题解析：（1）圆1C:22650xyx化为2234xy，所以圆1C的圆心坐标为3,0（2）设线段AB的中点00(,)xy，由圆的性质可得1C垂直于直线l.设直线l的方程为mxy（易知直线l的斜率存在），所以1C1km，00mxy，所以130000xyxy，所以0320020yxx，即49232020yx.因为动直线l与圆1C相交，所以2132mm，所以542m.所以202022054xxmy，所以20200543xxx，解得350x或00x，又因为300x，所以3350x.所以),(00yxM满足49232020yx3350x即的轨迹C的方程为492322yx335x.（3）由题意知直线L表示过定点T(4,0)，斜率为k的直线.结合图形，492322yx335x表示的是一段关于x轴对称，起点为352,35按逆时针方向运动到352,35的圆弧.根据对称性，只需讨论在x轴对称下方的圆弧.设P352,35，则752354352PTk，而当直线L与轨迹C相切时，2314232kkk，解得43k.在这里暂取43k，因为43752，所以kk.结合图形，可得对于x轴对称下方的圆弧，当2507k或34k时，直线L与x轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当2507k或34k时，直线L与x轴对称上方的圆弧有且只有一个交点.综上所述，当752752k或34k时，直线L:4ykx与曲线C只有一个交点.考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系.【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程、直线与圆的位置关系，属于难题．解题时一定要注意关键条件“直线l与圆1C相交于不同的两点，”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程和直线与圆的位置关系，即圆22DF0xyxy的圆心D,22，直线与圆相交dr（d是圆心到直线的距离），直线与圆相切dr（d是圆心到直线的距离）．LxyOC8.【2015高考新课标1，文20】（本小题满分12分）已知过点1,0A且斜率为k的直线l与圆C：22231xy交于M，N两点.（I）求k的取值范围；（II）12OMON，其中O为坐标原点，求MN.【答案】（I）4747,33骣-+琪琪桫（II）2（II）设1122(,),(,)MxyNxy.将1ykx=+代入方程()()22231xy-+-=,整理得22(1)-4(1)70kxkx+++=,所以1212224(1)7,.11kxxxxkk++==++21212121224(1)1181kkOMONxxyykxxkxxk+?+=++++=++,由题设可得24(1)8=121kkk+++，解得=1k，所以l的方程为1yx=+.故圆心在直线l上，所以||2MN=.考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力【名师点睛】直线与圆的位置关系问题是高考文科数学考查的重点，解决此类问题有两种思路，思路1：将直线方程与圆方程联立化为关于x的方程，设出交点坐标，利用根与系数关系，将1212,xxyy用k表示出来，再结合题中条件处理，若涉及到弦长用弦长公式计算，若是直线与圆的位置关系，则利用判别式求解;思路2：利用点到直线的距离计算出圆心到直线的距离，与圆的半径比较处理直线与圆的位置关系，利用垂径定理计算弦长问题.