2015年高考数学文真题分类汇编专题15几何证明选讲解析

1.【2015高考天津，文6】如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为（）(A)83(B)3(C)103(D)52【答案】A【解析】根据相交弦定理可得2122,339CMMDAMMBABABAB2212,339CNNEANNBABABAB所以8,3CMMDCMMDCNNENECN所以选A.【考点定位】本题主要考查圆中的相交弦定理.【名师点睛】平面几何中与圆有关的性质与定理是高考考查的热点,解题时要充分利用性质与定理求解,本部分内容中常见的命题点有:平行线分线段成比例定理;三角形的相似与性质;圆内接四边形的性质与判定;相交弦定理与切割线定理.2.【2015高考湖南，文12】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为2sin，则曲线C的直角坐标方程为_____.【答案】2211xy（）【解析】试题分析：将极坐标化为直角坐标，求解即可．曲线C的极坐标方程为222snsn，，它的直角坐标方程为222xyy，2211xy（）．故答案为：2211xy（）．【考点定位】圆的极坐标方程【名师点睛】1.运用互化公式：222,sin,cosxyyx将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．3.【2015高考广东，文14】（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C的极坐标方程为cossin2，曲线2C的参数方程为222xtyt（t为参数），则1C与2C交点的直角坐标为．【答案】2,4【解析】曲线1C的直角坐标方程为2xy，曲线2C的普通方程为28yx，由228xyyx得：24xy，所以1C与2C交点的直角坐标为2,4，所以答案应填：2,4．【考点定位】1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．【考点定位】1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程和两曲线的交点，属于容易题．解决此类问题的关键是极坐标方程或参数方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化．4.【2015高考广东，文15】（几何证明选讲选做题）如图1，为圆的直径，为的延长线上一点，过作圆的切线，切点为C，过作直线C的垂线，垂足为D．若4，C23，则D．【答案】3【解析】连结C，则CD，因为DD，所以C//D，所以CD，由切割线定理得：2C，所以412，即24120，解得：2或6（舍去），所以C26D34，所以答案应填：3．【考点定位】1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．【名师点晴】本题主要考查的是切线的性质、平行线分线段成比例定理和切割线定理，属于容易题．解题时一定要注意灵活运用圆的性质，否则很容易出现错误．凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识．【2015高考上海，文5】若线性方程组的增广矩阵为021321cc解为53yx，则21cc.【答案】16【解析】由题意，53yx是方程组2132cycyx的解，所以52121cc，所以1652121cc.【考点定位】增广矩阵，线性方程组的解法.【名师点睛】对于增广矩阵,他是线性方程组的矩阵表现形式,最后一列是常数项,前面的几列是方程组的系数.本题虽然是容易题，按照定义，仔细计算，不出错.5.【2015高考陕西，文22】选修4-1：几何证明选讲如图，AB切O于点B，直线AO交O于,DE两点，,BCDE垂足为C.(I)证明：CBDDBA(II)若3,2ADDCBC，求O的直径.【答案】(I)证明略，详见解析；(II)3.所以CBDDBA(II)由(I)知BD平分CBA，则3BAADBCCD，又2BC，从而32AB，所以224ACABBC所以3AD，由切割线定理得2ABADAE即26ABAEAD，故3DEAEAD，即O的直径为3.【考点定位】1.几何证明；2.切割线定理.【名师点睛】（1）近几年高考对本部分的考查主要是围绕圆的性质考查考生的推理能力、逻辑思维能力，试题多是运用定理证明结论，因而圆的性质灵活运用是解题的关键；（2）在几何题目中出现求长度的问题，通常会使用到相似三角形.全等三角形.切割线定理等基础知识；（3）本题属于基础题，要求有较高分析推理能力.6.【2015高考陕西，文23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标版权法xOy吕，直线l的参数方程为132(32xttyt为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为23sin.(I)写出C的直角坐标方程；(II)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的坐标.【答案】(I)2233xy；(II)(3,0).【解析】试题分析：(I)由23sin，得223sin，从而有2223xyy，所以2233xy(II)设133,22Ptt，又(0,3)C，则22213331222PCttt，故当0t时，PC取得最小值，此时P点的坐标为(3,0).试题解析：(I)由23sin，得223sin，从而有2223xyy所以2233xy(II)设133,22Ptt，又(0,3)C，则22213331222PCttt，故当0t时，PC取得最小值，此时P点的坐标为(3,0).【考点定位】1.极坐标系与参数方程；2.点与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查极坐标系与参数方程，解决此类问题的关键是如何正确地把极坐标方程或参数方程转化平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化.本题属于基础题，注意运算的准确性.7.【2015高考陕西，文24】选修4-5：不等式选讲已知关于x的不等式xab的解集为{|24}xx(I)求实数,ab的值；(II)求12atbt的最大值.【答案】(I)3,1ab；(II)4.【解析】试题分析：(I)由xab，得baxba，由题意得24baba，解得3,1ab；(II)柯西不等式得31234tttt2222[(3)1][(4)()tt244tt，当且仅当413tt即1t时等号成立，故min3124tt.试题解析：(I)由xab，得baxba则24baba，解得3,1.ab(II)31234tttt2222[(3)1][(4)()tt244tt当且仅当413tt即1t时等号成立，故min3124tt【考点定位】1.绝对值不等式；2.柯西不等式.【名师点睛】（1）零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间.去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值；（2）要注意区别不等式与方程区别；（3）用柯西不等式证明或求值事要注意两点：一是所给不等式的形式是否和柯西不等式的形式一致，若不一致，需要将所给式子变形；二是注意等号成立的条件8.【2015高考新课标1，文22】选修4-1：几何证明选讲如图AB是O直径，AC是O切线，BC交O与点E.（I）若D为AC中点，求证：DE是O切线；（II）若3OACE，求ACB的大小.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°（Ⅱ）设CE=1，AE=x,由已知得AB=23，212BEx，由射影定理可得，2AECEBE，∴2212xx，解得x=3，∴∠ACB=60°.……10分考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理【名师点睛】在解有关切线的问题时，要从以下几个方面进行思考：①见到切线，切点与圆心的连线垂直于切线；②过切点有弦，应想到弦切角定理；③若切线与一条割线相交，应想到切割线定理；④若要证明某条直线是圆的切线，则证明直线与圆的交点与圆心的连线与该直线垂直.9.【2015高考新课标1，文23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线1:2Cx，圆222:121Cxy，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求12,CC的极坐标方程.（II）若直线3C的极坐标方程为πR4，设23,CC的交点为,MN，求2CMN的面积.【答案】（Ⅰ）cos2,22cos4sin40（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C，2C的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4代入22cos4sin40即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2CMN的面积.试题解析：（Ⅰ）因为cos,sinxy，∴1C的极坐标方程为cos2，2C的极坐标方程为22cos4sin40.……5分（Ⅱ）将=4代入22cos4sin40，得23240，解得1=22，2=2，|MN|=1－2=2，因为2C的半径为1，则2CMN的面积o121sin452=12.考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系【名师点睛】对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要熟记互化公式，另外要注意互化时要将极坐标方程作适当转化，若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决.10.【2015高考新课标1，文24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数12,0fxxxaa.（I）当1a时求不等式1fx的解集；（II）若fx图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）2{|2}3xx（Ⅱ）（2，+∞）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f(x)1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将()fx化为分段函数，求出()fx与x轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a的不等式，即可解出a的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当a=1时，不等式f(x)1化为|x+1|-2|x-1|＞1，等价于11221xxx或111221xxx或11221xxx，解得223x，所以不等式f(x)1的解集为2{|2}3xx.……5分（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,xaxfxxaxaxaxa，所以函数()fx的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3aA，(21,0)Ba，(,+1)Caa，所以△ABC的面积为22(1)3a.由题设得22(1)3a＞6，解得2a.所以a的取值范围为（2，+∞）.……10分【考点定位】含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法【名师点睛】对含有两个绝对值的不等式问题，常用“零点分析法”去掉绝对值化为若干个不等式组问题，原不等式的解集是这些不等式组解集的并集；对函