2015年高考数学理真题分类汇编专题16选修部分解析

专题十六选修部分1.【2015高考北京，理11】在极坐标系中，点π23‚到直线cos3sin6的距离为．【答案】1【解析】先把点(2,)3极坐标化为直角坐标(1,3)，再把直线的极坐标方程cos3sin6化为直角坐标方程360xy，利用点到直线距离公式136113d.考点定位：本题考点为极坐标方程与直角坐标方程的互化及求点到直线距离，要求学生熟练使用极坐标与直角坐标互化公式进行点的坐标转化及曲线方程的转化，熟练使用三个距离公式，包括两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线的距离.【名师点睛】本题考查极坐标基础知识，要求学生使用互化公式熟练进行点的坐标转化及曲线方程的转化，然后利用点到直线距离公式求出距离，本题属于基础题，先把点的极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，最后求点到直线的距离.2.【2015高考湖北，理15】（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且3BCPB，则ABAC.【答案】21【解析】因为PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，由切割线定理知，)(2BCPBPBPCPBPA，因为3BCPB，所以224PBPA，即PBPA2，第15题图APBC由PAB∽PCA，所以21PAPBACAB.【考点定位】圆的切线、割线，切割线定理，三角形相似.【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．3.【2015高考湖北，理16】在直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为(sin3cos)0，曲线C的参数方程为1,1xttytt(t为参数)，l与C相交于AB两点，则||AB.【答案】52由两点间的距离公式得52)223223()2222(||22AB.【考点定位】极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，两点间的距离.【名师点睛】化参数方程为普通方程时，未注意到普通方程与参数方程的等价性而出错.4.【2015高考重庆，理14】如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.题（14）图EDPCBAO【答案】2【解析】首先由切割线定理得2PAPCPD，因此26123PD，9CDPDPC，又:2:1CEED，因此6,3CEED，再相交弦定理有AEEBCEED，所以6329CEEDBEAE.【考点定位】相交弦定理，切割线定理.【名师点晴】平面几何问题主要涉及三角形全等，三角形相似，四点共圆，圆中的有关比例线段（相关定理）等知识，本题中有圆的切线，圆的割线，圆的相交弦，由圆的切割线定理和相交弦定理就可以得到题中有关线段的关系．5．【2015高考重庆，理15】已知直线l的参数方程为11xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为235cos24(0,)44，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_______.【答案】(2,)【解析】直线l的普通方程为2yx，由2cos24得222(cossin)4，直角坐标方程为224xy，把2yx代入双曲线方程解得2x，因此交点.为(2,0)，其极坐标为(2,).【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.【名师点晴】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cossin1等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cossinxy，222tanxyyx等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．6．【2015高考重庆，理16】若函数()12fxxxa的最小值为5，则实数a=_______.【答案】4a或6a【解析】由绝对值的性质知在1x或xa时()fx可能取得最小值，若(1)215fa，32a或72a，经检验均不合；若()5fa，则15x，4a或6a，经检验合题意，因此4a或6a.【考点定位】绝对值的性质，分段函数.【名师点晴】与绝对值有关的问题，我们可以根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把问题转化为不含绝对值的式子（函数、不等式等），本题中可利用绝对值定义把函数化为分段函数，再利用函数的单调性求得函数的最小值，令此最小值为5，求得a的值．7.【2015高考广东，理14】(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为24sin(2）π，点A的极坐标为722,4A，则点A到直线l的距离为.【答案】522．【考点定位】极坐标方程化为普通方程，极坐标化平面直角坐标，点到直线的距离，转化与化归思想．【名师点睛】本题主要考查正弦两角差公式，极坐标方程化为普通方程，极坐标化平面直角坐标，点到直线的距离，转化与化归思想的应用和运算求解能力，属于容易题，解答此题在于准确把极坐标问题转化为平面直角坐标问题，利用平面几何点到直线的公式求解．8.【2015高考广东，理15】（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB是圆O的直径，4AB，EC是圆O的切线，切点为C，1BC，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD.【答案】8．【解析】如下图所示，连接OC，因为//ODBC，又BCAC，所以OPAC，又O为AB线段的中点，所以1122OPBC，在RtOCD中，122OCAB，由直角三角形的射影定理可得2OCOPOD即222812OCODOP，故应填入8．【考点定位】直线与圆的位置关系，直角三角形的射影定理．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，直角三角形的射影定理运用，属于中档题，解答平面几何问题关键在于认真审题分析图形中的线段关系，适当作出辅助线段，此题连接OC，则容易得到RtOCD，并利用直角三角形的射影定理求得线段OD的值．9.【2015高考天津，理5】如图，在圆O中，,MN是弦AB的三等分点，弦,CDCE分别经过点,MN.若2,4,3CMMDCN，则线段NE的长为()（A）83（B）3（C）103（D）52EDOABMNC【答案】A【解析】由相交弦定理可知，,AMMBCMMDCNNEANNB，又因为,MN是弦AB的三等分点，所以AMMBANNBCNNECMMD，所以24833CMMDNECN，故选A.【考点定位】相交弦定理.【名师点睛】本题主要考查相交弦定理、数形结合思想、数学计算能力.应用相交弦定理及，得到相应线段的关系：,AMMBCMMDCNNEANNB，再利用线段三等分析点的性质，结合图形，进行适当的转化，进行运算，体现数学基本思想：数形结合.是基础题.10.【2015高考安徽，理12】在极坐标中，圆8sin上的点到直线()3R距离的最大值是.【答案】6【考点定位】1.极坐标方程与普通方程的转化；2.圆上的点到直线的距离.【名师点睛】对于极坐标与参数方程的问题，考生要把握好如何将极坐标方程转化成普通方程，抓住核心：222,cos,sinxyxy，普通方程转化成极坐标方程，抓住核心：222,tanyxyx.圆上的点到直线的距离最大值或最小值，要考虑到圆的半径加上（或减去）圆心到直线的距离.11.【2015高考新课标2，理22】选修4—1：几何证明选讲如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G，与AB、AC分别相切于E、F两点．（Ⅰ）证明：//EFBC；GAEFONDBCM（Ⅱ）若AG等于O的半径，且23AEMN，求四边形EBCF的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1633．【解析】（Ⅰ）由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分线．又因为O分别与AB、AC相切于E、F两点，所以AEAF，故ADEF．从而//EFBC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AEAF,ADEF，故AD是EF的垂直平分线，又EF是O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OEAE．由AG等于O的半径得2AOOE，所以030OAE．所以ABC和AEF都是等边三角形．因为23AE，所以4AO，2OE．因为2OMOE，132DMMN，所以1OD．于是5AD，1033AB．所以四边形EBCF的面积221103313163()(23)232223．【考点定位】1．等腰三角形的性质；2、圆的切线长定理；3、圆的切线的性质．【名师点睛】平面几何中平行关系的证明往往有三种方法：①由垂直关系得出；②由角的关系得出；③由平行关系的传递性得出；除了用常规方法求面积外，通过割补法，将所求面积转化为易求面积的两个图形的和或者差更简洁．【2015高考上海，理3】若线性方程组的增广矩阵为122301cc、解为35xy，则12cc．【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.cxycxycc【考点定位】线性方程组的增广矩阵【名师点睛】线性方程组的增广矩阵是线性方程组另一种表示形式，明确其对应关系即可解决相应问题.即11112211211222221122+++++++++nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb对应增广矩阵为11121121222212nnnnnnnaaabaaabaaab12.【2015高考新课标2，理23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，曲线1cos,:sin,xtCyt（t为参数，0t），其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sinC，曲线3:23cosC．（Ⅰ）.求2C与1C交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C与1C相交于点A，3C与1C相交于点B，求AB的最大值．【答案】（Ⅰ）(0,0)和33(,)22；（Ⅱ）4．（Ⅱ）曲线1C的极坐标方程为(,0)R，其中0．因此A得到极坐标为(2sin,)，B的极坐标为(23cos,)．所以2sin23cosAB4in()3s，当56时，AB取得最大值，最大值为4．【考点定位】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．【名师点睛】（Ⅰ）将曲线2C与1C的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立2C与1C和3C与1C的极坐标方程，求得,AB的极坐标，由极径的概念将AB表示，转化为三角函数的最大值问题处理，高考试卷对参数方程中参数的几何意义和极坐标方程中极径和极角的概念考查加大了力度，复习时要克服把所有问题直角坐标化的误区．13．【2015高考新课标2，理24】（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设,,,abcd均为正数，且abcd，证明：（Ⅰ）若abcd，则abcd；（Ⅱ）abcd是abcd的充要条件．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【解析】（Ⅰ）因为2()2ababab，2()2cdcdcd，由题设abcd，abcd，得22()()abcd．因此abcd．（Ⅱ）（ⅰ）若abcd，则22()()abcd．即22()4(