2016年高考数学文真题分类汇编数列解析

-1-2016年高考数学文试题分类汇编数列一、选择题1、（2016年浙江高考）如图，点列,nnAB分别在某锐角的两边上，且*1122,,nnnnnnAAAAAAnN，*1122,,nnnnnnBBBBBBnN.(P≠Q表示点P与Q不重合)若nnndAB，nS为1nnnABB△的面积，则（）A.nS是等差数列B.2nS是等差数列C.nd是等差数列D.2nd是等差数列【答案】A二、填空题学科网1、（2016年江苏省高考）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22=-3，S5=10，则a9的值是▲.【答案】20.2、（2016年上海高考）无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意的*nÎN，{23}nSÎ，则k的最大值为.【答案】4-2-三、解答题1、（2016年北京高考）已知{an}是等差数列，{bn}是等差数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和.解：（I）等比数列nb的公比32933bqb，所以211bbq，4327bbq．设等差数列na的公差为d．因为111ab，14427ab，所以11327d，即2d．所以21nan（1n，2，3，）．（II）由（I）知，21nan，13nnb．因此1213nnnncabn．从而数列nc的前n项和11321133nnSn12113213nnn学科网2312nn．2、（2016年江苏省高考）记1,2,100U…，.对数列*nanN和U的子集T，若T,定义0TS;若12,,kTttt…，，定义12+kTtttSaaa….例如：=1,3,66T时，1366+TSaaa.现设*nanN是公比为3的等比数列，且当=2,4T时，=30TS.（1）求数列na的通项公式；-3-（2）对任意正整数1100kk，若1,2,kT…，，求证：1TkSa；（3）设,,CDCUDUSS,求证：2CCDDSSS.（1）由已知得1*13,nnaanN.于是当{2,4}T时，2411132730rSaaaaa.又30rS，故13030a，即11a.所以数列{}na的通项公式为1*3,nnanN.（2）因为{1,2,,}Tk，1*30,nnanN，所以1121133(31)32kkkrkSaaa.因此，1rkSa.（3）下面分三种情况证明.①若D是C的子集，则2CCDCDDDDSSSSSSS.②若C是D的子集，则22CCDCCCDSSSSSS.③若D不是C的子集，且C不是D的子集.令UECCD，UFDCC则E，F，EF.于是CECDSSS，DFCDSSS，进而由CDSS，得EFSS.设k是E中的最大数，l为F中的最大数，则1,1,klkl.由（2）知，1EkSa，于是1133lklFEkaSSa，所以1lk，即lk.又kl，故1lk，从而11121131311332222lklkEFlaSSaaa，故21EFSS，所以2()1CCDDCDSSSS，即21CCDDSSS.综合①②③得，2CCDDSSS.-4-3、（2016年山东高考）已知数列na的前n项和238nSnn，nb是等差数列，且1nnnabb.（I）求数列nb的通项公式；（II）令1(1)(2)nnnnnacb.求数列nc的前n项和nT.【解析】（Ⅰ）由题意得322211bbabba，解得3,41db，得到13nbn。（Ⅱ）由（Ⅰ）知112)1(3)33()66(nnnnnnnc，从而]2)1(242322[31432nnnT利用“错位相减法”即得223nnnT试题解析：（Ⅰ）由题意当2n时，561nSSannn，当1n时，1111Sa；所以56nan；设数列的公差为d，由322211bbabba，即dbdb321721111，解之得3,41db，所以13nbn。（Ⅱ）由（Ⅰ）知112)1(3)33()66(nnnnnnnc，又nnccccT321，即]2)1(242322[31432nnnT，所以]2)1(242322[322543nnnT，以上两式两边相减得222143223]2)1(12)12(44[3]2)1(22222[3nnnnnnnnnT。所以223nnnT4、（2016年上海高考）对于无穷数列{na}与{nb}，记A={x|x=a，*Nn}，B={x|x=nb，*Nn}，若同时满足条件：①{na}，{nb}均单调递增；②AB且*NAB，则称-5-{na}与{nb}是无穷互补数列.（1）若na=21n，nb=42n，判断{na}与{nb}是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若na=2n且{na}与{nb}是无穷互补数列，求数列{nb}的前16项的和；（3）若{na}与{nb}是无穷互补数列，{na}为等差数列且16a=36，求{na}与{nb}得通项公式.解析：（1）因为4，4，所以4，从而na与nb不是无穷互补数列．（2）因为416a，所以1616420b．数列nb的前16项的和为23412202222512020221802．（3）设na的公差为d，d，则1611536aad．由136151ad，得1d或2．若1d，则121a，20nan，与“na与nb是无穷互补数列”矛盾；若2d，则16a，24nan，,525,5nnnbnn．综上，24nan，,525,5nnnbnn．5、（2016年四川高考）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=Sn+1，其中q﹥0，n∈N+(Ⅰ)若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设双曲线x2﹣у2an2=1的离心率为en，且e2=2，求e12+e22+…+en2，解析：（Ⅰ）由已知，1211,1,nnnnSqSSqS+++=+=+两式相减得到21,1nnaqan++=?.又由211SqS=+得到21aqa=，故1nnaqa+=对所有1n³都成立.所以，数列{}na是首项为1，公比为q的等比数列.-6-从而1=nnaq-.由2323+aaaa，，成等差数列，可得32232=aaaa++，所以32=2,aa，故=2q.所以1*2()nnan-=?N.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1nnaq-=.所以双曲线2221nyxa-=的离心率22(1)11nnneaq-=+=+.由2212eq=+=解得3q=.所以，22222(1)12222(1)2(11)(1+)[1]1[1]11(31).2nnnnneeeqqqnqqnqn--++鬃?=+++鬃?+-=+++鬃?=+-=+-6、（2016年天津高考）已知na是等比数列，前n项和为nSnN，且6123112,63Saaa.(Ⅰ)求na的通项公式；(Ⅱ)若对任意的,bnnN是2logna和21logna的等差中项，求数列21nnb的前2n项和.解析：（Ⅰ）解：设数列}{na的公比为q，由已知有2111211qaqaa，解之可得1,2qq，又由631)1(61qqaSn知1q，所以6321)21(61a，解之得11a，所以12nna.（Ⅱ）解：由题意得21)2log2(log21)log(log21212122naabnnnnn，即数列}{nb是首项为21，公差为1的等差数列.设数列})1{(2nnb的前n项和为nT，则2212212221224232221222)(2)()()(nbbnbbbbbbbbbTnnnnn-7-7、（2016年全国I卷高考）已知na是公差为3的等差数列，数列nb满足12111==3nnnnbbabbnb1，，.（I）求na的通项公式；（II）求nb的前n项和.解：（I）由已知，1221121,1,,3abbbbb得1221121,1,,3abbbbb得12a，所以数列na是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为31nan.（II）由（I）和11nnnnabbnb，得13nnbb，因此nb是首项为1，公比为13的等比数列.记nb的前n项和为nS，则111()313.122313nnnS8、（2016年全国II卷高考）等差数列{na}中，34574,6aaaa.（Ⅰ）求{na}的通项公式；（Ⅱ）设[]nnba，求数列{}nb的前10项和，其中[]x表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.解析：(Ⅰ)设数列na的公差为d，由题意有11254,53adad，解得121,5ad，所以na的通项公式为235nna.（Ⅱ）由(Ⅰ)知235nnb，当n1,2,3时，2312,15nnb；当n4,5时，2323,25nnb；当n6,7,8时，2334,35nnb；-8-当n9,10时，2345,45nnb，所以数列nb的前10项和为1322334224.9、（2016年全国III卷高考）已知各项都为正数的数列na满足11a，211(21)20nnnnaaaa.（I）求23,aa；（II）求na的通项公式.10、（2016年浙江高考）设数列{na}的前n项和为nS.已知2S=4，1na=2nS+1，*Nn.（I）求通项公式na；（II）求数列{2nan}的前n项和.解析：（1）由题意得：1221421aaaa，则1213aa，又当2n时，由11(21)(21)2nnnnnaaSSa，得13nnaa，所以，数列{}na的通项公式为1*3,nnanN.（2）设1|32|nnbn，*nN，122,1bb.当3n时，由于132nn，故132,3nnbnn.设数列{}nb的前n项和为nT，则122,3TT.-9-当3n时，229(13)(7)(2)351131322nnnnnnnT，所以，2*2,13511,2,2nnnTnnnnN.