2016年高考数学理真题分类汇编圆锥曲线解析

2016年高考数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、（2016年四川高考）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线22(p0)ypx上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为（A）33（B）23（C）22（D）1【答案】C2、（2016年天津高考）已知双曲线2224=1xyb（b0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）（A）22443=1yx（B）22344=1yx（C）2224=1xyb（D）2224=11xy【答案】D3、（2016年全国I高考）已知方程x2m2+n–y23m2–n=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）(–1,3)（B）(–1,3)（C）(0,3)（D）(0,3)【答案】A4、（2016年全国I高考）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为（A）2（B）4（C）6（D）8【答案】B5、（2016年全国II高考）圆2228130xyxy的圆心到直线10axy的距离为1，则a=（）（A）43（B）34（C）3（D）2【答案】A6、（2016年全国II高考）圆已知12,FF是双曲线2222:1xyEab的左，右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MFF,则E的离心率为（）（A）2（B）32（C）3（D）2【答案】A7、（2016年全国III高考）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】A8、（2016年浙江高考）已知椭圆C1：22xm+y2=1(m1)与双曲线C2：22xn–y2=1(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则A．mn且e1e21B．mn且e1e21C．mn且e1e21D．mn且e1e21【答案】A二、填空题1、（2016年北京高考）双曲线22221xyab（0a，0b）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_______________.【答案】22、（2016年山东高考）已知双曲线E：22221xyab（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.【答案】2【解析】由题意c2=BC，所以3c=AB，于是点),23（cc在双曲线E上，代入方程，得1492222=bc－ac，在由2cba=+22得E的离心率为2==ace，应填2.3、（2016年上海高考）已知平行直线012:,012:21yxlyxl，则21,ll的距离_______________【答案】2554、（2016年浙江高考）若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．【答案】9三、解答题1、（2016年北京高考）已知椭圆C：22221xyab（0ab）的离心率为32，(,0)Aa，(0,)Bb，(0,0)O，OAB的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：BMAN为定值.解得2,1,3.abc∴椭圆的方程为2214xy.⑵方法一：设椭圆上一点00,Pxy，则220014xy.直线PA：0022yyxx,令0x，得0022Myyx.∴00212yBMx【解析】⑴由已知，31,122caba，又222abc，直线PB：0011yyxx,令0y，得001Nxxy.∴0021xANy0000000000220000000000221122222214448422xyANBMyxxyxyxyxyxyxyxyxy将220014xy代入上式得=4ANBM故ANBM为定值.方法二：设椭圆上一点2cos,sinP，直线PA:sin22cos2yx,令0x，得sin1cosMy.∴sincos11cosBM直线PB:sin112cosyx,令0y，得2cos1sinNx.∴2sin2cos21sinAN2sin2cos2sincos11sin1cos22sin2cos2sincos21sincossincos4ANBM故ANBM为定值.2、（2016年山东高考）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：222210xyabab＞＞的离心率是32，抛物线E：22xy的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线l与y轴交于点G，记PFG△的面积为1S，PDM△的面积为2S，求12SS的最大值及取得最大值时点P的坐标.【解析】(Ⅰ)由离心率是23，有224=ba，又抛物线yx2=2的焦点坐标为)21,0(F，所以21=b，于是1=a，所以椭圆C的方程为1=4+22yx．(Ⅱ)（i）设P点坐标为)0(),2mm,P2m（，由yx2=2得xy=′，所以E在点P处的切线l的斜率为m，因此切线l的方程为2=2mmx－y，设),(),,(2211yxByxA，),(00yxD，将2=2mmx－y代入1=4+22yx，得0=1+4)4+12322－mxm－xm（．于是23214+14=+mmxx，232104+12=2+=mmxxx，又)4+1(2=2=22200m－mm－mxy，于是直线OD的方程为xm－y41=．联立方程xm－y41=与mx=，得M的坐标为)41M(m,－．所以点M在定直线41=y－上．（ii）在切线l的方程为2=2mmx－y中，令0=x，得2m=y2－，即点G的坐标为)2mG(0,－2，又)2mP(m,2，)21F(0,，所以4)1+(=×21=S21mmGFm；再由)1)+2(4m－m,1+4m2mD(2223，得)1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S2222322mmmmmmm于是有222221)1+2()1+)(1+4(2=SSmmm．令1+2=2mt，得222111+2=)1+)(21(2=SSt－tttt－当21=1t时，即2=t时，21SS取得最大值49．此时21=2m，22=m，所以P点的坐标为)41,22P(．所以21SS的最大值为49，取得最大值时点P的坐标为)41,22P(．3、（2016年上海高考）有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F点或河边运走。于是，菜地分为两个区域1S和2S，其中1S中的蔬菜运到河边较近，2S中的蔬菜运到F点较近，而菜地内1S和2S的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1,0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程（2）菜农从蔬菜运量估计出1S面积是2S面积的两倍，由此得到1S面积的“经验值”为38。设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于1S面积的经验值【解析】（1）因为C上的点到直线与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、以为准线的抛物线在正方形FG内的部分，其方程为24yx（02y）．（2）依题意，点的坐标为1,14．所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114．矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为11814312，所以五边形面积更接近于1S面积的“经验值”．4、（2016年上海高考）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)yxbb的左、右焦点分别为12FF、，直线l过2F且与双曲线交于AB、两点。（1）若l的倾斜角为2，1FAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设3b，若l的斜率存在，且11()0FAFBAB，求l的斜率.【答案】（1）2yx．（2）155.【解析】（1）设,xy．由题意，2F,0c，21cb，22241ybcb，因为1F是等边三角形，所以23cy，即24413bb，解得22b．故双曲线的渐近线方程为2yx．（2）由已知，1F2,0，2F2,0．设11,xy，22,xy，直线:l2ykx．显然0k．由22132yxykx，得222234430kxkxk．因为l与双曲线交于两点，所以230k，且23610k．设的中点为,xy．由11FF0即1F0，知1F，故1F1kk．而2122223xxkxk，2623kykxk，1F2323kkk，所以23123kkk，得235k，故l的斜率为155．5、（2016年四川高考）已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l:y＝－x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；（II）设O是坐标原点，直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣·∣PB∣，并求λ的值.有方程组22221,23,xybbyx得22312(182)0xxb.①方程①的判别式为2=24(3)b，由=0，得2=3b，此方程①的解为=2x，所以椭圆E的方程为22163xy.点T坐标为（2,1）.由②得212124412=,33mmxxxx.所以221112252(2)(1)23323mmmPAxyx，同理252223mPBx，所以12522(2)(2)433mmPBPBxx21212522(2)(2)()433mmxxxx225224412(2)(2)()43333mmmm2109m.故存在常数45，使得2PTPAPB.6、（2016年天津高考）设椭圆13222yax（3a）的右焦点为F，右顶点为A，已知||3||1||1FAeOAOF，其中O为原点，e为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若HFBF，且MOAMAO，求直线的l斜率的取值范围.【解析】（2）（Ⅱ）解：设直线l的斜率为k（0k），则直线l的方程为)2(xky.设),(BByxB，由方程组)2(13422xkyyx，消去y，整理得0121616)34(2222kxkxk.解得2x，或346822kkx，由题意得346822kkxB，从而34122kkyB.由（Ⅰ）知，)0,1(F，设),0(HyH，有),1(HyFH，)3412,3449(222kkkkBF.由HFBF，得0HFBF，所