2016年高考数学理真题分类汇编数列解析

2016年高考数学理试题分类汇编数列一、选择题1、（2016年上海高考）已知无穷等比数列na的公比为q，前n项和为nS，且SSnnlim.下列条件中，使得NnSSn2恒成立的是（）（A）7.06.0,01qa（B）6.07.0,01qa（C）8.07.0,01qa（D）7.08.0,01qa【答案】B2、（2016年全国I高考）已知等差数列{}na前9项的和为27，10=8a，则100=a（A）100（B）99（C）98（D）97【答案】C3、（2016年全国III高考）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意2km，12,,,kaaa中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个【答案】C4、（2016年浙江高考）如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且1122,,nnnnnnAAAAAAn*N，1122,,nnnnnnBBBBBBn*N，（PQPQ表示点与不重合）.若1nnnnnnndABSABB，为△的面积，则A．{}nS是等差数列B．2{}nS是等差数列C．{}nd是等差数列D．2{}nd是等差数列【答案】A二、填空题1、（2016年北京高考）已知{}na为等差数列，nS为其前n项和，若16a，350aa，则6=S_______..【答案】62、（2016年上海高考）无穷数列na由k个不同的数组成，nS为na的前n项和.若对任意Nn，3,2nS，则k的最大值为________.【答案】43、（2016年全国I高考）设等比数列{}na满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2鬃?an的最大值为.【答案】644、（2016年浙江高考）设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=，S5=.【答案】1121三、解答题1、（2016年北京高考）设数列A：1a，2a,…Na(N).如果对小于n(2nN)的每个正整数k都有ka＜na，则称n是数列A的一个“G时刻”.记“)(AG是数列A的所有“G时刻”组成的集合.（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出)(AG的所有元素；（2）证明：若数列A中存在na使得na1a，则)(AG；（3）证明：若数列A满足na-1na≤1（n=2,3,…,N）,则)(AG的元素个数不小于Na-1a.如果iG，取iiGmmin，则对任何iimnkiaaamk,1.从而)(AGmi且1iinm.又因为pn是)(AG中的最大元素，所以pG.2、（2016年山东高考）已知数列na的前n项和Sn=3n2+8n，nb是等差数列，且1.nnnabb（Ⅰ）求数列nb的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)nnnnnacb求数列nc的前n项和Tn.【解析】(Ⅰ)因为数列na的前n项和nnSn832，所以111a，当2n时，56)1(8)1(383221nnnnnSSannn，又56nan对1n也成立，所以56nan．又因为nb是等差数列，设公差为d，则dbbbannnn21．当1n时，db1121；当2n时，db1722，解得3d，所以数列nb的通项公式为132ndabnn．(Ⅱ)由1112)33()33()66()2()1(nnnnnnnnnnnbac，于是14322)33(2122926nnnT，两边同乘以２，得21432)33(2)3(29262nnnnnT，两式相减，得214322)33(23232326nnnnT2222)33(21)21(2323nnn222232)33()21(2312nnnnnnT．3、（2016年上海高考）若无穷数列{}na满足：只要*(,)pqaapqN，必有11pqaa，则称{}na具有性质P.（1）若{}na具有性质P，且12451,2,3,2aaaa，67821aaa，求3a；（2）若无穷数列{}nb是等差数列，无穷数列{}nc是公比为正数的等比数列，151bc，5181bc，nnnabc判断{}na是否具有性质P，并说明理由；（3）设{}nb是无穷数列，已知*1sin()nnnabanN.求证：“对任意1,{}naa都具有性质P”的充要条件为“{}nb是常数列”.【解析】试题分析：（1）根据已知条件，得到678332aaaa，结合67821aaa求解．（2）根据nb的公差为20，nc的公比为13，写出通项公式，从而可得520193nnnnabcn．通过计算1582aa，248a，63043a，26aa，即知na不具有性质．（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．试题解析：（1）因为52aa，所以63aa，743aa，852aa．于是678332aaaa，又因为67821aaa，解得316a．（2）nb的公差为20，nc的公比为13，所以12012019nbnn，1518133nnnc．520193nnnnabcn．1582aa，但248a，63043a，26aa，所以na不具有性质．（3）[证]充分性：当nb为常数列时，11sinnnaba．对任意给定的1a，只要pqaa，则由11sinsinpqbaba，必有11pqaa．充分性得证．必要性：用反证法证明．假设nb不是常数列，则存在k，使得12kbbbb，而1kbb．下面证明存在满足1sinnnnaba的na，使得121kaaa，但21kkaa．设sinfxxxb，取m，使得mb，则0fmmb，0fmmb，故存在c使得0fc．取1ac，因为1sinnnaba（1nk），所以21sinabcca，依此类推，得121kaaac．但2111sinsinsinkkkkababcbc，即21kkaa．所以na不具有性质，矛盾．必要性得证．综上，“对任意1a，na都具有性质”的充要条件为“nb是常数列”．4、（2016年四川高考）已知数列{na}的首项为1，nS为数列{na}的前n项和，11nnSqS，其中q0，*nN.（I）若2322,,2aaa成等差数列，求an的通项公式；(ii)设双曲线2221nyxa的离心率为ne，且253e，证明：121433nnnneee.【答案】（Ⅰ）1=nnaq-；（Ⅱ）详见解析.解析：（Ⅰ）由已知，1211,1,nnnnSqSSqS+++=+=+两式相减得到21,1nnaqan++=?.又由211SqS=+得到21aqa=，故1nnaqa+=对所有1n³都成立.所以，数列{}na是首项为1，公比为q的等比数列.从而1=nnaq-.由2322+2aaa，，成等比数列，可得322=32aa+，即22=32,qq+，则(21)(2)0q+q-=，由已知,0q，故=2q.所以1*2()nnan-=?N.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1nnaq-=.所以双曲线2221nyxa-=的离心率22(1)11nnneaq-=+=+.由2513qq=+=解得43q=.因为2(1)2(1)1+kkqq--，所以2(1)1*1+kkqqk--?N（）.于是11211+1nnnqeeeqqq--++鬃?+鬃?=-，故1231433nnneee--++鬃?.5、（2016年天津高考）已知na是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的,bnnN是na和1na的等比中项.(Ⅰ)设22*1,nnncbbnN，求证：nc是等差数列；(Ⅱ)设22*11,1,nnnnkadTbnN，求证：2111.2nkkTd【解析】⑴22112112nnnnnnnnCbbaaaada21212()2nnnnCCdaad为定值．∴nC为等差数列⑵2213211(1)nknknkTbCCC21(1)42nnnCd212(1)nCdnn（*）由已知22212123122122()4Cbbaaaadadadd将214Cd代入（*）式得22(1)nTdnn∴2111112(1)nnkkkTdkk212d，得证6、（2016年全国II高考）nS为等差数列na的前n项和，且17=128.aS，记=lgnnba，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0lg99=1，．（Ⅰ）求111101bbb，，；（Ⅱ）求数列nb的前1000项和．【解析】⑴设na的公差为d，74728Sa，∴44a，∴4113aad，∴1(1)naandn．∴11lglg10ba，1111lglg111ba，101101101lglg2ba．⑵记nb的前n项和为nT，则1000121000Tbbb121000lglglgaaa．当0lg1na≤时，129n，，，；当1lg2na≤时，101199n，，，；当2lg3na≤时，100101999n，，，；当lg3na时，1000n．∴1000091902900311893T．7、（2016年全国III高考）已知数列{}na的前n项和1nnSa，其中0．（I）证明{}na是等比数列，并求其通项公式；（II）若53132S，求．【解析】8、（2016年浙江高考）设数列na满足112nnaa，n．（I）证明：1122nnaa，n；（II）若32nna，n，证明：2na，n．（II）任取n，由（I）知，对于任意mn，1121112122222222nmnnnnmmnmnnnnmmaaaaaaaa11111222nnm112n，故11222mnnnmaa11132222mnnm3224mn．从而对于任意mn，均有