2016年高考数学理真题分类汇编立体几何解析

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2016年高考数学理试题分类汇编立体几何一、选择题1、(2016年北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.16B.13C.12D.1【答案】A2、(2016年山东高考)有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如右图所示,则该几何体的体积为(A)π32+31(B)π32+31(C)π62+31(D)π62+1【答案】C3、(2016年全国I高考)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是(A)17π(B)18π(C)20π(D)28π【答案】A4、(2016年全国I高考)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α//平面CB1D1,αI平面ABCD=m,αI平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为(A)32(B)22(C)33(D)13【答案】A5、(2016年全国II高考)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(A)20π(B)24π(C)28π(D)32π【答案】C6、(2016年全国III高考)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(A)18365(B)54185(C)90(D)81【答案】B7、(2016年全国III高考)在封闭的直三棱柱111ABCABC内有一个体积为V的球,若ABBC,6AB,8BC,13AA,则V的最大值是(A)4π(B)92(C)6π(D)323【答案】B二、填空题1、(2016年上海高考)如图,在正四棱柱1111DCBAABCD中,底面ABCD的边长为3,1BD与底面所成角的大小为32arctan,则该正四棱柱的高等于____________【答案】222、(2016年四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是__________.【答案】333、(2016年天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为_______m3.【答案】24、(2016年全国II高考),是两个平面,,mn是两条直线,有下列四个命题:(1)如果,,//mnmn,那么.[(2)如果,//mn,那么mn.(3)如果//,m,那么//m.(4)如果//,//mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有..(填写所有正确命题的编号)【答案】②③④5、(2016年浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.【答案】72326、(2016年浙江高考)如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.【答案】12三、解答题1、(2016年北京高考)如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PAPD,ABAD,1AB,2AD,5ACCD.(1)求证:PD平面PAB;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在点M,使得//BM平面PCD?若存在,求AMAP的值;若不存在,说明理由.【解】⑴∵面PAD面ABCDAD面PAD面ABCD∵ABAD,AB面ABCD∴AB面PAD∵PD面PAD∴ABPD又PDPA∴PD面PAB⑵取AD中点为O,连结CO,PO∵5CDAC∴COAD∵PAPD∴POAD以O为原点,如图建系易知(001)P,,,(110)B,,,(010)D,,,(200)C,,,则(111)PB,,,(011)PD,,,(201)PC,,,(210)CD,,设n为面PDC的法向量,令00(,1)nxy,011,120nPDnnPC,,则PB与面PCD夹角有11132sincos,311134nPBnPBnPB⑶假设存在M点使得BM∥面PCD设AMAP,0,','Myz由(2)知0,1,0A,0,0,1P,0,1,1AP,1,1,0B,0,'1,'AMyz有0,1,AMAPM∴1,,BM∵BM∥面PCD,n为PCD的法向量∴0BMn即102∴1=4∴综上,存在M点,即当14AMAP时,M点即为所求.OxyzPABCD2、(2016年山东高考)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一条母线.(I)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH∥平面ABC;(II)已知EF=FB=12AC=23,AB=BC.求二面角FBCA的余弦值.【解】(Ⅰ)连结FC,取FC的中点M,连结HMGM,,因为GM//EF,EF在上底面内,GM不在上底面内,所以GM//上底面,所以GM//平面ABC;又因为MH//BC,BC平面ABC,MH平面ABC,所以MH//平面ABC;所以平面GHM//平面ABC,由GH平面GHM,所以GH//平面ABC.(Ⅱ)连结OB,BCABOBAO以为O原点,分别以OOOB,OA,为zy,x,轴,建立空间直角坐标系.BCAB,32AC21FBEF,3)(22FOBOBFOO,于是有)0,0,3A(2,)0,0,3C(-2,)0,3B(0,2,)3,3F(0,,可得平面FBC中的向量)3,(30,-BF,)0,,(3232CB,于是得平面FBC的一个法向量为)1,3,3(1n,又平面ABC的一个法向量为)1,0,0(2n,EFBACGHEFBACO,Oxyz设二面角A-BC-F为,则7771cos2121nnnn.二面角A-BC-F的余弦值为77.3、(2016年上海高考)将边长为1的正方形11AAOO(及其内部)绕的1OO旋转一周形成圆柱,如图,AC长为23,11AB长为3,其中1B与C在平面11AAOO的同侧。(1)求三棱锥111COAB的体积;(2)求异面直线1BC与1AA所成的角的大小。【解析】试题分析:(1)由题意可知,圆柱的高1h,底面半径1r.确定1113.计算111S后即得.(2)设过点1的母线与下底面交于点,根据11//,知1C或其补角为直线1C与1所成的角.确定C3,C1.得出1C4.试题解析:(1)由题意可知,圆柱的高1h,底面半径1r.由11的长为3,可知1113.111111111113sin24S,C1AA1B111111C13V312Sh.(2)设过点1的母线与下底面交于点,则11//,所以1C或其补角为直线1C与1所成的角.由C长为23,可知2C3,又1113,所以C3,从而C为等边三角形,得C1.因为1平面C,所以1C.在1C中,因为1C2,C1,11,所以1C4,从而直线1C与1所成的角的大小为4.4、(2016年四川高考)如图,在四棱锥PABCD中,//ADBC,90ADCPAB,12BCCDAD,E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90.(I)在平面PAB内找一点M,使得直线//CM平面PBE,并说明理由;(II)若二面角PCDA的大小为45,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【解】(I)延长AB,交直线CD于点M,∵E为AD中点,∴1=2AEEDAD,∵1=2BCCDAD,∴EDBC,∵//ADBC即//EDBC,∴四边形BCDE为平行四边形,//BECD,∵ABCDM,∴MCD,∴//CMBE,∵BE面PBE,∴//CM面PBE,∵MAB,AB面PAB,∴M面PAB故在面PAB上可找到一点M使得//CM面PBE.(II)过A作AFEC交EC于点F,连结PF,过A作AGPF交PF于点G,∵90PAB∠,PA与CD所成角为90,∴PAAB,PACD,∵=ABCDM,∴PAABCD,∵EC面ABCD,∴PAEC,∵ECAF且AFAPA,∴CE面PAF,∵AG面PAF,∴AGCE,∵AGPF且AGAFA,∴AG面PFC,∴APF∠为所求PA与面PCE所成的角,∵PA面ABCD,=90ADC∠即ADDC.∴PDA∠为二面角PCDA所成的平面角,由题意可得=45PDA∠,而=90PAD∠,∴PAAD,∵BCCD,四边形BCDE是平行四边形,=90ADM∠,∴四边形BCDE是正方形,∴45BEC∠,∴=45AEFBEC∠∠,∵90AFE∠,∴2=2AFAE,∴224tan==4ADAFAPFAPAP∠,∴1sin=3APF∠.5、(2016年天津高考)如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.(I)求证:EG∥平面ADF;(II)求二面角O-EF-C的正弦值;(III)设H为线段AF上的点,且AH=23HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【解析】(Ⅰ)证明:找到AD中点I,连结FI,∵矩形OBEF,∴EFOB∥∵G、I是中点,∴GI是ABD△的中位线∴GIBD∥且12GIBD∵O是正方形ABCD中心∴12OBBD∴EFGI∥且EFGI=∴四边形EFIG是平行四边形∴EGFI∥∵FI面ADF∴EG∥面ADF(Ⅱ)OEFC正弦值解:如图所示建立空间直角坐标系OxyzIzyxABCDEFGHO020B,,,200C,,,022E,,,002F,,设面CEF的法向量1nxyz,,1102020202220nEFxyzynCFxyzxz,,,,,,,,得:201xyz∴1201n,,∵OC面OEF,∴面OEF的法向量2100n,,12121226cos331nnnnnn,21263sin133nn,(Ⅲ)∵23AHHF∴2222420205555AHAF,,,,设Hxyz,,∴2242055AHxyz,,,,得:325045xyz324255BH,,12164755cos212235BHnBHnBHn,6、(2016年全国I高考)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,90AFD,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60.(I)证明:平面ABEF平面EFDC;(II)求二面角E-BC-A的余弦值.【解析】⑴∵ABEF为正方形∴AFEF∵90AFD∴AFDF∵=DFEFF∴AF面EFDCAF面ABEF∴平面ABEF平面EFDC⑵由⑴知60DFECEF∵ABEF∥AB平面EFDCEF平面EFDC∴AB∥平面ABCDAB平面ABCD∵面ABCD面EFDCCD∴ABCD∥,∴CDEF∥∴四边形EFDC为等腰梯形以E为原点,如图建立坐标系,设FDa000020EBa,,,,3022022aCaAaa,,,,020EBa,,,3222aBCaa,,,200ABa,,设面BEC法向量为mxyz,,.00mEBmB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