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2019年沈阳市高三教学质量监测（二）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3.考试结束后，考生将答题卡交回.第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、集合，集合，则（）A.B.C.D.2.设复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（）A.B.C.D.3.已知向量，，则=（）A.B.C.2D.44.已知函数，则=（）A．4B．C．-4D．5.已知，且，则的概率（）A.B．C．D.6.已知，为第一象限角，则的值为（）A.B.C.D.7.如图，在长方体中，点P是棱上一点，则三棱锥的左视图可能为（）ABCD主视方向8.将函数的图象向右平移个单位后的图象关于轴对称，则函数在上的最小值为（）A.B.C.D.9.见右侧程序框图，若输入，则输出结果是（）A.51B.49C.47D.4510.已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A.B.C.D.211.在中，是中点，已知，则的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形12.偶函数定义在上，且，当时，总有，则不等式的解集为（）A.且B.或C.且D.或第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上）13.已知实数满足，则的最大值为.14.在椭圆上有两个动点，，若为定点，且，则的最小值为.15.已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为.16.设是一个非空集合，是定义在上的一个运算.如果同时满足下述四个条件：（ⅰ）对于，都有；（ⅱ）对于，都有；（iii）对于，使得；（iv）对于，使得（注：“”同（iii）中的“”）.则称关于运算构成一个群.现给出下列集合和运算：①是整数集合，为加法；②是奇数集合，为乘法；③是平面向量集合，为数量积运算；④是非零复数集合，为乘法.其中关于运算构成群的序号是___________（将你认为正确的序号都写上）.三.解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知数列满足.（I）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（II）令，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：男女7155789998161845298356170275461241801119男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．（I）求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；（II）在五年一班的男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率；（III）若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用表示其中男生的人数，写出的分布列，并求的数学期望．19、（本小题满分12分）如图（1），在等腰梯形中，，分别为和的中点，且，，为中点，现将梯形沿所在直线折起，使平面平面，如图（2）所示，是线段上一动点，且.（Ⅰ）当时，求证：平面；（Ⅱ）当时，求二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设.（I）求点的轨迹的方程；（II）设点，过的直线交轨迹于两点，设直线的斜率分别为，求的最小值.21.(本小题满分12分)已知函数，.（I）若函数存在单调减区间，求实数的取值范围；（II）若，证明：，总有.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲已知四边形为的内接四边形且，其对角线与相交于点，过点作的切线交的延长线于点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求证：.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上.（I）若直线与曲线交于两点，求的值；（Ⅱ）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值.24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知使得关于的不等式成立．(I)求满足条件的实数的集合；(Ⅱ)若，且对于，不等式恒成立，试求的最小值.数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一．选择题1.B2.C3.B4.B5.B6.C7.D8.D9.A10.C11.D12.B一．选择题1.解：集合B化简为，依题可见选B.2.解：依题，从而，于是，选C.3.解：由，或用坐标法直接计算，选B.4.解：由题，选B.5.解：由题基本事件空间中的元素有：，满足题意的有，所以选B.6.解：由题，，所以，所以选C.7.解：在长方体中,三棱锥的左视图中，、、的射影分别是、、.所以选D.8.解：由题依题，所以.这样又，所以，选D.9.解：A.10.解：圆心为F（c，0），渐渐线为：，由题，所以，即离心率为，选C.11.解：如图，因为，所以，在与中，由正弦定理得，，所以，即，所以，从而或，于是或.选D.12解：因为是偶函数，它的图象关于纵轴对称，所以不等式的解集也应是对称的，所以D排除；当时，总有恒成立，即成立，也就是恒成立，又因为，所以，所以即是恒成立，可见函数在上单调递增，又因为函数是偶函数，所以函数是偶函数，所以在上单调递减。又，所以，所以的图象如下：所以在时，，而，所以成立而在时，，而，所以,又由函数的图象对称性可知，选B.二.填空题:13.414.15.16.①④13.解析：14.解：因为，所以由向量数量积的几何意义可知：，又因为点M在椭圆上，则，带入上式，得，当时，取得最小值.15.解：如图所示，设为外接球球心，三棱柱的高为，则由题意可知，，，，，此时三棱柱的体积为，其中.令，则，令，则，当时，，函数增，当时，，函数减.故当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为.16.解：①若是整数集合，则（i）两个整数相加仍为整数；（ⅱ）整数加法满足结合律；（iii）,则；（iv），在整数集合中存在唯一一个，使；故整数集合关于运算构成一个群；②是奇数集合，为乘法，则,不满足（iv）；③是平面向量集合，为数量积运算,则不满足（i）;④是非零复数集合，为乘法，则（i）两个非零复数相乘仍为非零复数；（ⅱ）非零复数相乘符合结合律；（iii）,则；（iv），在中存在唯一一个，使.三.解答题17.解：(I)由知，……………………………………………………………2分所以数列是以为首项，为公比的等比数列.…………………4分则，.…………………………………………6分（II），设数列的前项和为，则，…………………………………………………………10分当时，；当时，；所以.………………………………………12分18.解：（I）五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为cm．…2分（II）设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，至少有两人的成绩是合格的概率为P，则P＝P（A）+P（B），又男生共12人，其中有8人合格，从而，………………………….4分，所以.……………………6分（III）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，的取值为0,1,2.则，，，(每项1分)……………………………10分因此，的分布列如下：012P∴（人）．（未化简不扣分）……12分（或是，因为服从超几何分布，所以（人）19.解：（Ⅰ）过点作于点，过点作于点，连接.由题意，，……………………2分且，，………4分又，则，即，可知且平面，则平面.……………………………………………………6分（Ⅱ）以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示坐标系.由题意，，，，，，平面的法向量为平面的法向量，即，………………………………………………………………8分在平面中，，，即，……………………………………………………10分则，又由图可知二面角的平面角是锐角，所以二面角的大小的余弦值为.………………………………12分20.解：（I）设点，，则由，得，因为点在抛物线上，所以，.…………………………4分（II）方法一：由已知，直线的斜率一定存在，设点，，则联立，得，，由韦达定理，得.………………………………………6分当直线经过点即或时，当时，直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率，则，，此时；同理，当点与点重合时，（学生如果没有讨论，不扣分）直线不经过点即且时∵，…………………………………………8分，……………………………………………………………10分故，所以的最小值为1.……………………………………………………………12分方法二：同上，………………………8分………………………………………10分所以的最小值为1.………………………………………………………12分方法三：设点，，由直线过交轨迹于两点得:,化简整理得:………………………………8分.…………………10分而………………………………………12分21.解：（I）由已知，得………………2分因为函数存在单调减区间，所以方程有解.而恒成立，即有解，所以.又，所以，.……………5分(II)因为，所以，所以.因为，所以又对于任意，.………………………………………6分要证原不等式成立，只要证，只要证，对于任意上恒成立.…………8分设函数，，则，当时，，即在上是减函数，当时，，即在上是增函数，所以,在上，，所以.所以，，（当且仅当时上式取等号）①……10分设函数，，则，当时，，即在上是减函数，当时，，即在上是增函数，所以在上，，所以，即，（当且仅当时上式取等号）②.综上所述，，因为①②不可能同时取等号所以，在上恒成立，所以，总有成立.………12分22.解：（Ⅰ）由可知，，……………………………2分由角分线定理可知，，即得证.……5分（Ⅱ）由，可知，又，所以，所以.………………………………………………………………8分所以（内错角），又（线切角），所以，所以.…………………………………10分23.解：(I)直线的参数方程是（），……………3分代入椭圆方程得，所以=2.………………………………5分(Ⅱ)设椭圆的内接矩形的顶点为，，，……………………8分所以椭圆的内接矩形的周长为=当时，即时椭圆的内接矩形的周长取得最大值16.……10分24.解：(I),……………………………………………3分所以，所以的取值范围为.………………………………5分(Ⅱ)由(I)知，对于，不等式恒成立，只需,所以，……………………………………………7分又因为，所以.又，所以，所以，，所以，即的最小值为6.………………………10分