2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点练习三角函数与解三角形平面向量考点过关检测五解

考点过关检测（五）1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sinC.解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°A180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即62＋32cosC＋12sinC＝2sinC，整理可得cos(C＋60°)＝－22.因为0°C120°，所以C＋60°＝135°，C＝75°，所以sinC＝sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.2．(2019·北京东城期末)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2,2sinA＝sinC.(1)求c的长；(2)若cos2C＝－14，求△ABC的面积．解：(1)在锐角三角形ABC中，由正弦定理得asinA＝csinC，即2sinA＝csinC，∵2sinA＝sinC，∴c＝4.(2)∵cos2C＝1－2sin2C＝－14，∴sin2C＝58，∴sinC＝104或sinC＝－104(舍去)．∴sinA＝12sinC＝108.∵A为锐角，故cosA＝368，∴由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2－36b＋12＝0，解得b＝26或b＝6.当b＝26时，S△ABC＝12absinC＝15；当b＝6时，cosC＝a2＋b2－c22ab＝4＋6－162×2×60，C为钝角，与题意不符，舍去．∴△ABC的面积为15.3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a－2b)cosC＋ccosA＝0.(1)求角C；(2)若c＝23，求△ABC周长的最大值．解：(1)根据正弦定理，由已知得(sinA－2sinB)cosC＋sinCcosA＝0，即sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosC，∴sin(A＋C)＝2sinBcosC，∵A＋C＝π－B，∴sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sinB0，∴sinB＝2sinBcosC，∴cosC＝12.∵C∈(0，π)，∴C＝π3.(2)由(1)及余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，又c＝23，∴a2＋b2－12＝ab，∴(a＋b)2－12＝3ab≤3a＋b22，即(a＋b)2≤48(当且仅当a＝b＝23时等号成立)．∴△ABC周长的最大值为63.4．(2019·莆田质检)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosB＋32b＝a.(1)求C；(2)如图，若a＝b，D为△ABC外一点，AD∥BC，AD＝CD＝2，求四边形ABCD的面积．解：(1)在△ABC中，由正弦定理得sinCcosB＋32sinB＝sinA，又A＝π－(B＋C)，所以sinCcosB＋32sinB＝sin(B＋C)，即sinCcosB＋32sinB＝sinBcosC＋cosBsinC，所以sinBcosC＝32sinB.又B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以cosC＝32.所以C∈(0，π)，所以C＝π6.(2)因为AD∥BC，故∠CAD＝∠ACB＝π6.在△ACD中，因为AD＝CD＝2，所以∠ACD＝∠CAD＝π6，故∠ADC＝2π3，所以AC2＝22＋22－2×2×2cos2π3＝12.又∠ACB＝π6，AC＝BC，所以S△ACB＝12AC·BCsinπ6＝14AC2＝3.又S△ACD＝12CD·ADsin2π3＝3，所以四边形ABCD的面积为3＋3.5．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sinAcos2A－3cos(B＋C)＝sin3A＋3.(1)求A的大小；(2)若b＝2，求△ABC面积的取值范围．解：(1)∵4sinAcos2A－3cos(B＋C)＝sin3A＋3，∴4sinAcos2A＋3cosA＝sin3A＋3，∴2sin2AcosA＋3cosA＝sin2AcosA＋cos2AsinA＋3，sin2AcosA－cos2AsinA＋3cosA＝3，即sin(2A－A)＋3cosA＝3.∴sinA＋3cosA＝3，即sinA＋π3＝32.又A∈0，π2，∴A＋π3＝2π3，即A＝π3.(2)由(1)得B＋C＝2π3，∴C＝2π3－B，∵△ABC为锐角三角形，∴2π3－B∈0，π2且B∈0，π2，解得B∈π6，π2，在△ABC中，由正弦定理得2sinB＝csinC，∴c＝2sinCsinB＝2sin2π3－BsinB＝3tanB＋1，又B∈π6，π2，∴1tanB∈(0，3)，∴c∈(1,4)，∵S△ABC＝12bcsinA＝32c，∴S△ABC∈32，23.故△ABC面积的取值范围为32，23.