2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点练习三角函数与解三角形平面向量考点过关检测四解

考点过关检测（四）1．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若3bcosC＝c(1－3cosB)，则sinC∶sinA＝()A．2∶3B．4∶3C．3∶1D．3∶2解析：选C由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB，即3sin(B＋C)＝sinC⇒3sinA＝sinC，所以sinC∶sinA＝3∶1.2．(2019·承德期末)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝1，c＝6，cosC＝23，则a＝()A．3B．4C．5D．6解析：选A由余弦定理可得cosC＝a2＋b2－c22ab，即23＝a2＋1－62a，整理可得(a－3)(3a＋5)＝0.结合a0可得a＝3.3．(2019·湖南师大附中月考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bcosCccosB＝1＋cos2C1＋cos2B，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D∵1＋cos2C1＋cos2B＝2cos2C2cos2B＝cos2Ccos2B＝bcosCccosB，∴cosCcosB＝0或cosCcosB＝bc，即C＝90°或cosCcosB＝bc.由正弦定理，得bc＝sinBsinC，∴cosCcosB＝sinBsinC，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B，∵B，C均为△ABC的内角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°，∴B＝C或B＋C＝90°，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D.4．(2020届高三·广西防城港模拟)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边．若(a＋b)(sinA－sinB)＝c(sinA－sinC)，则B＝()A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选C由题意和正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(a－c)，即a2－b2＝ac－c2，则a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，∴B＝π3.5．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角为()A．60°B．90°C．120°D．135°解析：选C∵sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶3，∴a∶b∶c＝1∶1∶3，易知C为最大内角，设a＝m，则b＝m，c＝3m.∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝m2＋m2－3m22m2＝－12，∴C＝120°.6．(2019·淮南一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A.π6B.π4C.π3D.3π4解析：选B由题意和余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2b2－2b21－sinA2b2＝sinA，所以A＝π4.故选B.7．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acosA＝bsinA，则sinA＋sinC的最大值为()A.2B.98C．1D.78解析：选B∵acosA＝bsinA，由正弦定理可得，sinAcosA＝sinBsinA，∵sinA≠0，∴cosA＝sinB，又B为钝角，∴B＝A＋π2，sinA＋sinC＝sinA＋sin(A＋B)＝sinA＋cos2A＝sinA＋1－2sin2A＝－2sinA－142＋98，∴sinA＋sinC的最大值为98.8．(2019·莆田第九中学月考)A在塔底D的正西面，在A处测得塔顶C的仰角为45°，B在塔底D的南偏东60°处，在塔顶C处测得到B的俯角为30°，AB间距84米，则塔高为()A．24米B．125米C．127米D．36米解析：选C由题意画出图形．则∠CBD＝30°，∠ADB＝90°＋60°＝150°，且AB＝84，设CD＝h，则在Rt△ADC中，AD＝CD＝h.在Rt△BDC中，BD＝CDtan∠CBD＝htan30°＝3h.在△ABD中，由余弦定理得，AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB，即842＝h2＋(3h)2－2h×3h×－32，∴7h2＝842，∴h＝127.9．(2020届高三·合肥质检)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC．若a＝3，则b2＋c2的取值范围是()A．(3,6]B．(3,5)C．(5,6]D．[5,6]解析：选C由正弦定理可得，(a－b)·(a＋b)＝(c－b)·c，即b2＋c2－a2＝bc，cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，又A∈0，π2，∴A＝π3.∵bsinB＝csinC＝3sinπ3＝2，∴b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝4[sin2B＋sin2(A＋B)]＝41－cos2B2＋1－cos[2A＋B]2＝3sin2B－cos2B＋4＝2sin2B－π6＋4.∵△ABC是锐角三角形，∴B∈π6，π2，即2B－π6∈π6，5π6，∴12sin2B－π6≤1，∴5b2＋c2≤6.故选C.10．(2019·北京房山期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若b＝4，B＝π6，sinA＝13，则a＝________.解析：∵b＝4，B＝π6，sinA＝13，∴根据正弦定理得asinA＝bsinB，即a13＝4sinπ6，∴a＝83.答案：8311．在△ABC中，BC＝23，AC＝3，∠BAC＝2∠B，D是BC上一点且AD⊥AC，则sin∠BAC＝________，△ABD的面积为________．解析：∵BC＝23，AC＝3，∠BAC＝2∠B，∴在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠BAC＝ACsin∠B，即23sin∠BAC＝3sin∠B＝232sin∠Bcos∠B，解得cos∠B＝33，可得sin∠B＝63，∴cos∠BAC＝cos2∠B＝2cos2∠B－1＝－13，sin∠BAC＝1－－132＝223.∵AD⊥AC，∴sin∠BAD＝sin∠BAC－π2＝－cos∠BAC＝13，可得cos∠BAD＝223，∴sin∠ADB＝sin(∠BAD＋∠B)＝13×33＋223×63＝539.在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠B，∴32＝AB2＋(23)2－2AB·23×33，解得AB＝1或3.当AB＝AC＝3时，由∠BAC＝2∠B，可得∠B＝∠C＝12∠BAC＝π4，∴BC＝32＋32＝32，与BC＝23矛盾，∴AB＝1.在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsin∠B，∴AD＝AB·sin∠Bsin∠ADB＝325，∴S△ABD＝12AB·AD·sin∠BAD＝12×1×325×13＝210.答案：22321012．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB－bcosA＝12c，B为锐角，当tan(A－B)取最大值时，C＝________.解析：由正弦定理，得sinAcosB－sinBcosA＝12sinC，即2sinAcosB－2sinBcosA＝sinAcosB＋cosAsinB，因而tanA＝3tanB，所以tan(A－B)＝tanA－tanB1＋tanAtanB＝2tanB1＋3tan2B＝21tanB＋3tanB≤221tanB·3tanB＝33，当且仅当1tanB＝3tanB，即tanB＝33，B＝π6时取等号，又tanA＝3tanB，所以A－B的最大值为π6，此时A＝π3，从而C＝π2.答案：π2