2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点练习函数与导数考点过关检测三十二解析

考点过关检测（三十二）1．(2019·安徽示范高中高三测试)设函数f(x)＝xlnx，则曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程为()A．y＝－x－1B．y＝x＋1C．y＝－x＋1D．y＝x－1解析：选D∵f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1，故选D.2．(2019·巴蜀中学模拟)已知曲线y＝2xx－1在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为25，则直线l的方程为()A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0C．2x－y－18＝0D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0解析：选By′＝2x－1－2xx－12＝－2x－12，y′|x＝2＝－22－12＝－2，因此kl＝－2，设直线l的方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意得|2×2＋4－b|5＝25，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故选B.3．(2019·石家庄模拟)设a∈R，函数f(x)＝ex＋ae－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为()A．ln2B．－ln2C.ln22D．－ln22解析：选A对f(x)＝ex＋ae－x求导得f′(x)＝ex－ae－x，又f′(x)是奇函数，故f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1，故f′(x)＝ex－e－x，设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝32，解得ex0＝2或ex0＝－12(舍去)，所以x0＝ln2.4．(2019·成都二诊)若曲线y＝f(x)＝lnx＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是()A.－12，＋∞B.－12，＋∞C．(0，＋∞)D．[0，＋∞)解析：选Df′(x)＝1x＋2ax＝2ax2＋1x(x0)，根据题意有f′(x)≥0(x0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x0)恒成立，即2a≥－1x2(x0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D.5．(2019·开封定位考试)已知函数f(x)＝k＋4klnx＋4－x2x，k∈[4，＋∞)，曲线y＝f(x)上总存在两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，使曲线y＝f(x)在M，N两点处的切线互相平行，则x1＋x2的取值范围为()A.85，＋∞B.165，＋∞C.85，＋∞D.165，＋∞解析：选Bf′(x)＝k＋4kx－4x2－1(x0，k≥4)，由题意知，f′(x1)＝f′(x2)(x1，x20且x1≠x2)，即k＋4kx1－4x21－1＝k＋4kx2－4x22－1，化简得4(x1＋x2)＝k＋4kx1x2，而x1x2x1＋x222，所以4(x1＋x2)k＋4kx1＋x222，即x1＋x216k＋4k对k∈[4，＋∞)恒成立，令g(k)＝k＋4k，则g′(k)＝1－4k2＝k＋2k－2k20对k∈[4，＋∞)恒成立，故g(k)在[4，＋∞)上单调递增，所以g(k)≥g(4)＝5，所以16k＋4k≤165，所以x1＋x2165.故x1＋x2的取值范围为165，＋∞.6．(2019·辽宁五校联考)设函数f(x)＝e2x－t的图象与g(x)＝aex＋a2x(a0)的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数t的最大值是()A．e－12B．e12C.12eD.2e解析：选C设函数f(x)＝e2x－t的图象与g(x)＝aex＋a2x的图象的公共点为(x0，y0)，因为f′(x)＝2e2x，g′(x)＝aex＋a2，所以2e2x0＝aex0＋a2，所以(ex0－a)·(2ex0＋a)＝0，因为2ex0＋a0，所以ex0＝a，所以x0＝lna．又因为aex0＋a2x0＝e2x0－t，所以aelna＋a2lna＝e2lna－t，化简得t＝－a2lna，则t′＝－2alna－a2×1a＝－a(1＋2lna)，令t′0得0ae－12；令t′0得ae－12，所以t＝－a2lna在(0，e－12)上单调递增，在(e－12，＋∞)上单调递减，所以当a＝e－12时，t＝－a2lna取得最大值，且最大值为－(e－12)2lne－12＝12e.故选C.7．(2019·广东六校第一次联考)已知函数f(x)＝x3＋ax＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(－1,1)，则a＝________.解析：由题意，得f′(x)＝3x2＋a，所以f′(1)＝3＋a，又因为f(1)＝2＋a，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－(2＋a)＝(3＋a)(x－1)．又切线过点(－1,1)，所以1－2－a＝－6－2a，解得a＝－5.答案：－58．若函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，则t＝_________，切线方程为________．解析：因为函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1，所以f′(x)＝3x2＋t－1.因为函数f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，所以f′(－1)＝3×(－1)2＋t－1＝2＋t＝0，解得t＝－2.此时f(x)＝x3－3x－1，f(－1)＝1，切线方程为y＝1.答案：－2y＝19．若直线l与曲线y＝ex及y＝－x24都相切，则直线l的方程为________．解析：设直线l与曲线y＝ex的切点为(x0，ex0)，直线l与曲线y＝－x24的切点为x1，－x214，因为y＝ex在点(x0，ex0)处的切线的斜率为y′x＝x0＝ex0，y＝－x24在点x1，－x214处的切线的斜率为y′x＝x1＝－x2x＝x1＝－x12，则直线l的方程可表示为y＝ex0x－x0ex0＋ex0或y＝－12x1x＋14x21，所以ex0＝－x12，－x0ex0＋ex0＝x214，所以ex0＝1－x0，解得x0＝0，所以直线l的方程为y＝x＋1.答案：y＝x＋110．已知函数f(x)＝x3－x.(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．解：(1)∵f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.又f(1)＝0，故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)设切点为(x0，x30－x0)，则切线方程为y－(x30－x0)＝f′(x0)(x－x0)．又切线过点(1，b)，所以(3x20－1)(1－x0)＋x30－x0＝b，即2x30－3x20＋b＋1＝0.由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．记g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，则结合图象可知g(0)g(1)0即可，可得b∈(－1,0)．故实数b的取值范围为(－1,0)．11．设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝74x－3，当x＝2时，y＝12.又f′(x)＝a＋bx2，所以2a－b2＝12，a＋b4＝74，解得a＝1，b＝3.故f(x)＝x－3x.(2)是定值，理由如下：设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，由f′(x)＝1＋3x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝1＋3x20(x－x0)，即y－x0－3x0＝1＋3x20(x－x0)．令x＝0，得y＝－6x0，得切线与直线x＝0的交点坐标为0，－6x0.令y＝x，得y＝x＝2x0，得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积S＝12－6x0·|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.