2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点练习解析几何考点过关检测二十一解析

考点过关检测（二十一）1．“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C因为两直线平行，所以斜率相等，即－2a＝－b2，可得ab＝4，又当a＝1，b＝4时，满足ab＝4，但是两直线重合，故选C.2．(2019·南充期末)若直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程是()A．x＝0B．y＝1C．x＋y－1＝0D．x－y＋1＝0解析：选D依题意，直线l：y＝kx＋1过定点P(0,1)．圆C：x2＋y2－2x－3＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4.故圆心为C(1,0)，半径为r＝2.则易知定点P(0,1)在圆内．由圆的性质可知当PC⊥l时，此时直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短．因为kPC＝1－00－1＝－1，所以直线l的斜率k＝1，即直线l的方程是x－y＋1＝0.3．(2019·广东六校模拟)与圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝33x对称的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y－1)2＝4B．(x－2)2＋(y－2)2＝4C．x2＋(y－2)2＝4D．(x－1)2＋(y－3)2＝4解析：选D设所求圆的圆心为(a，b)，则b2＝33×a＋22，ba－2＝－3，∴a＝1，b＝3，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝4.4．(2019·河南八市质检)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A．2x＋y－5＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0D．x－2y－7＝0解析：选B由题意，过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x－1)(3－1)＋y(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.5．(2019·安徽六安模拟)已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2，2)，则弦AB的长为()A．2B．3C．4D．5解析：选A将圆C：x2＋y2－6x＋5＝0整理，得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C的圆心坐标为(3,0)，半径为2.∵线段AB的中点坐标为D(2，2)，∴|CD|＝1＋2＝3，∴|AB|＝24－3＝2.故选A.6．(2019·东北十校联考)已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是()A.2B．22C.3D．23解析：选C圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心C(1,1)，半径r＝1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×12|PA|r＝|PA|＝|PC|2－r2，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝|3－4＋11|32＋－42＝105＝2.所以四边形PACB面积的最小值为|PC|min2－r2＝4－1＝3.7．(2019·长沙一调)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为___________________．解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以b－4a－－3·1＝－1，－3＋a2－b＋42＋3＝0，解得a＝1，b＝0，又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为y－06－0＝x－12－1，即6x－y－6＝0.答案：6x－y－6＝08．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个焦点为(3，0)，A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线y＝bax相交于P，Q两点，且AP→·AQ→＝0，OP→＝3OQ→，则椭圆C的标准方程为________，圆A的标准方程为__________．解析：如图，设T为线段PQ的中点，连接AT，则AT⊥PQ.∵AP→·AQ→＝0，即AP⊥AQ，∴|AT|＝12|PQ|.又OP→＝3OQ→，∴|OT|＝|PQ|.∴|AT||OT|＝12，即ba＝12.由已知得焦半距c＝3，∴a2＝4，b2＝1，故椭圆C的方程为x24＋y2＝1.又|AT|2＋|OT|2＝4，∴|AT|2＋4|AT|2＝4，∴|AT|＝255，r＝|AP|＝2105.∴圆A的方程为(x－2)2＋y2＝85.答案：x24＋y2＝1(x－2)2＋y2＝859．(2019·安阳一模)已知AB为圆C：x2＋y2－2y＝0的直径，点P为直线y＝x－1上任意一点，则|PA|2＋|PB|2的最小值为________．解析：圆心C(0,1)，设∠PCA＝α，|PC|＝m，则|PA|2＝m2＋1－2mcosα，|PB|2＝m2＋1－2mcos(π－α)＝m2＋1＋2mcosα，∴|PA|2＋|PB|2＝2m2＋2.又C到直线y＝x－1的距离d＝|0－1－1|2＝2，即m的最小值为2，∴|PA|2＋|PB|2的最小值为2×(2)2＋2＝6.答案：610.(2019·南通模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)．(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，|MN|＝|AB|，求直线l的方程；(2)在圆C上是否存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．解：(1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2,0)，半径为2.因为l∥AB，A(－1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为2－01－－1＝1.设直线l的方程为x－y＋m＝0，则圆心C到直线l的距离为d＝|2－0＋m|2＝|2＋m|2.因为|MN|＝|AB|＝22＋22＝22，而|CM|2＝d2＋|MN|22，所以4＝2＋m22＋2，解得m＝0或m＝－4，故直线l的方程为x－y＝0或x－y－4＝0.(2)假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，化简得x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4.因为|2－2|2－02＋0－122＋2，所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以存在点P，点P的个数为2.11．(2019·武汉一模)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x－3y－4＝0相切．(1)求圆O的方程．(2)若直线l：y＝kx＋3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点Q，使得OQ→＝OA→＋OB→？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．解：(1)设圆O的半径为r，因为直线x－3y－4＝0与圆O相切，所以r＝|0－3×0－4|1＋3＝2，所以圆O的方程为x2＋y2＝4.(2)因为直线l：y＝kx＋3与圆O相交于A，B两点，所以圆心O到直线l的距离d＝|3|1＋k22，所以k52或k－52.假设存在点Q，使得OQ→＝OA→＋OB→.因为A，B在圆上，且OQ→＝OA→＋OB→，同时|OA→|＝|OB→|，由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB为菱形，所以OQ与AB互相垂直且平分．所以原点O到直线l：y＝kx＋3的距离d＝12|OQ|＝1，即|3|1＋k2＝1，解得k2＝8，则k＝±22，经验证满足条件．所以存在点Q，使得OQ→＝OA→＋OB→，此时直线l的斜率为±22.