2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点练习解析几何考点过关检测二十八解析

考点过关检测（二十八）1.如图，曲线E：x2m＋y2n＝1(m0，n0)与正方形L：|x|＋|y|＝4相切．(1)求m＋n的值；(2)设直线l：y＝x＋b交曲线E于A，B两点，交L于C，D两点，是否存在这样的曲线E，使得|CA|，|AB|，|BD|成等差数列？若存在，求出实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)联立x2m＋y2n＝1，|x|＋|y|＝4消去y，得(n＋m)x2－8m|x|＋16m－mn＝0，则Δ＝64m2－4(m＋n)(16m－mn)＝0，化简得4mn(m＋n)－64mn＝0.又m0，n0所以mn0，从而有m＋n＝16.(2)假设存在符合题意的曲线E，有2|AB|＝|CA|＋|BD|，所以|CD|＝|CA|＋|AB|＋|BD|＝3|AB|＝42，即|AB|＝423.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2m＋y2n＝1，y＝x＋b消去y，得(n＋m)x2＋2bmx＋mb2－mn＝0.由Δ＝－4nmb2＋4n2m＋4m2n0，可得b2m＋n＝16，且x1＋x2＝－2bmn＋m，x1x2＝mb2－mnn＋m，所以|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝2×4mn16－b216＝423，可得16－b2mn＝323，从而323·116－b2＝mn≤m＋n2＝8，当且仅当m＝n＝8时等号成立，所以b2≤1289，即有－823≤b≤823，符合b2m＋n＝16，故当实数b的取值范围是－823，823时，存在曲线E，使得|CA|，|AB|，|BD|成等差数列．2．(2019·沈阳联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦点F1的坐标为(－c,0)，F2的坐标为(c,0)，且经过点P1，32，PF2⊥x轴．(1)求椭圆C的方程．(2)设过F1的直线l与椭圆C交于A，B两个不同点，在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)∵PF2⊥x轴，P1，32，∴c＝1，1a2＋94b2＝1，又∵a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝3.∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)假设存在点M(x0，y0)，当l斜率不存在时，|F1M|＝|F1F2|，a－c＝2c，不成立；当l斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立x24＋y23＝1，y＝kx＋1，消去y得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，∵Δ＝16(9k2＋9)0，∴x1＋x2＝－8k23＋4k2，∴y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝6k3＋4k2，则AB的中点坐标为－4k23＋4k2，3k3＋4k2.AB与MF2的中点重合，∴x0＋12＝－4k23＋4k2，y02＝3k3＋4k2，∴x0＝－12k2－33＋4k2，y0＝6k3＋4k2，代入椭圆的方程x24＋y23＝1化简得80k4＋24k2－27＝0，解得k2＝920，即k＝±3510.∴存在符合条件的直线l的方程为y＝±3510(x＋1)．3．已知抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点为F，过点F作倾斜角为45°的直线与抛物线C交于A，B两点，且|AB|＝16.(1)求抛物线C的方程．(2)设P，M，N为抛物线上不同的三点，且PM⊥PN，若P点的横坐标为8，判断直线MN是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．解：(1)由题意知，直线AB的方程为y＝x＋p2.由y＝x＋p2，x2＝2py消去x，整理得y2－3py＋p24＝0.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＋yB＝3p.∴|AB|＝yA＋yB＋p＝4p＝16，∴p＝4.∴抛物线C的方程为x2＝8y.(2)由(1)可得点P(8,8)，设Mx1，x218，Nx2，x228，则kPM＝x218－8x1－8＝x1＋88，同理可得kPN＝x2＋88.∵PM⊥PN，∴kPM·kPN＝x1＋88·x2＋88＝－1，化简得x1x2＋8(x1＋x2)＋128＝0(*)．易知直线MN的斜率一定存在，设直线MN为y＝kx＋b，由y＝kx＋b，x2＝8y，得x2－8kx－8b＝0，则Δ＝64k2＋32b0，且x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.代入(*)，得－8b＋64k＋128＝0，∴b＝8k＋16.∴直线MN的方程可化为y＝kx＋8k＋16＝k(x＋8)＋16，∴直线MN过定点(－8,16)．4．(2019·广东百校联考)已知F为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点，点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过F的直线l交C于A，B两点，交直线x＝8于点M.判断直线PA，PM，PB的斜率能否构成等差数列？请说明理由．解：(1)因为点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴，所以c＝2.由4a2＋9b2＝1，a2－b2＝4，得a2＝16，b2＝12，故椭圆C的方程为x216＋y212＝1.(2)直线PA，PM，PB的斜率能构成等差数列．理由如下：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)．令x＝8，得M的坐标为(8,6k)．由x216＋y212＝1，y＝kx－2，消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16(k2－3)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝16k24k2＋3，x1x2＝16k2－34k2＋3.①设直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，则k1＝y1－3x1－2，k2＝y2－3x2－2，k3＝6k－38－2＝k－12.因为直线AB的方程为y＝k(x－2)，所以y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)．所以k1＋k2＝y1－3x1－2＋y2－3x2－2＝y1x1－2＋y2x2－2－31x1－2＋1x2－2＝2k－3×x1＋x2－4x1x2－2x1＋x2＋4.②把①代入②，得k1＋k2＝2k－3×16k24k2＋3－416k2－34k2＋3－32k24k2＋3＋4＝2k－1.又k3＝k－12，所以k1＋k2＝2k3，故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．