2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点练习解析几何考点过关检测二十六解析

考点过关检测（二十六）1．(2019·亳州联考)已知抛物线E：y2＝2px(p0)与过点M(a,0)(a0)的直线l交于A，B两点，且总有OA⊥OB.(1)确定p与a的数量关系；(2)若|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，求λ的取值范围．解：(1)设l：ty＝x－a，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y2＝2px，ty＝x－a消去x，得y2－2pty－2pa＝0.∴y1＋y2＝2pt，y1y2＝－2pa，由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，即y1y224p2＋y1y2＝0，∴a2－2pa＝0.∵a0，∴a＝2p.(2)由(1)可得|AB|＝1＋t2|y1－y2|＝2p1＋t2·t2＋4.|AM|·|MB|＝AM→·MB→＝(a－x1)(x2－a)－y1y2＝－x1x2＋a(x1＋x2)－a2－y1y2＝a·y21＋y222p－a2＝4p2(1＋t2)．∵|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，∴a·2p1＋t2·t2＋4＝λ·4p2(1＋t2)，∴λ＝4＋t21＋t2＝1＋31＋t2.∵t2≥0，∴λ∈(1,2]．故λ的取值范围为(1,2]．2．(2019·佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为12，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左、右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为3.(1)求椭圆M的标准方程；(2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求PA→·F2C→的取值范围．解：(1)设椭圆M的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则ca＝12，12·2c·b＝3，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝3，c＝1.所以椭圆M的标准方程是x24＋y23＝1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x1，－y1)，直线AB：y＝kx＋m.将y＝kx＋m，代入x24＋y23＝1得，(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.则x1＋x2＝－8km4k2＋3，x1x2＝4m2－124k2＋3.因为B，C，F2共线，所以kBF2＝kCF2，即kx2＋mx2－1＝－kx1＋mx1－1，整理得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，所以2k·4m2－124k2＋3－(m－k)·8km4k2＋3－2m＝0，解得m＝－4k.所以直线AB：y＝k(x－4)，与x轴交于定点P(4,0)．因为y21＝3－34x21，所以PA→·F2C→＝(x1－4，y1)·(x1－1，－y1)＝x21－5x1＋4－y21＝74x21－5x1＋1＝74x1－1072－187.因为－2x12，所以PA→·F2C→的取值范围是－187，18.3.如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋y24＝1(x0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．解：(1)证明：设P(x0，y0)，A14y21，y1，B14y22，y2.因为PA，PB的中点均在抛物线上，所以y1，y2为方程y＋y022＝4·14y2＋x02，即y2－2y0y＋8x0－y20＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0，因此PM垂直于y轴．(2)由(1)可知y1＋y2＝2y0，y1y2＝8x0－y20，所以|PM|＝18(y21＋y22)－x0＝34y20－3x0，|y1－y2|＝22y20－4x0.因此△PAB的面积S△PAB＝12|PM|·|y1－y2|＝324(y20－4x0)32.因为x20＋y204＝1(x00)，所以y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4,5]，所以△PAB面积的取值范围是62，15104.4．已知M为椭圆C：x225＋y29＝1上的动点，过点M作x轴的垂线，垂足为D，点P满足PD→＝53MD→.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若A，B两点分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的左焦点，直线PB与椭圆C交于点Q，直线QF，PA的斜率分别为kQF，kPA，求kQFkPA的取值范围．解：(1)设P(x，y)，M(m，n)，依题意知D(m,0)，且y≠0.由PD→＝53MD→，得(m－x，－y)＝53(0，－n)，则有m－x＝0，－y＝－53n⇒m＝x，n＝35y.又M(m，n)为椭圆C：x225＋y29＝1上的点，∴x225＋35y29＝1，即x2＋y2＝25，故动点P的轨迹E的方程为x2＋y2＝25(y≠0)．(2)依题意知A(－5,0)，B(5,0)，F(－4,0)，设Q(x0，y0)，∵线段AB为圆E的直径，∴AP⊥BP，设直线PB的斜率为kPB，则kQFkPA＝kQF－1kPB＝－kQFkPB＝－kQFkQB＝－y0x0＋4·y0x0－5＝－y20x0＋4x0－5＝－91－x2025x0＋4x0－5＝925x20－25x0＋4x0－5＝925x0＋5x0＋4＝9251＋1x0＋4，∵点P不同于A，B两点且直线QF的斜率存在，∴－5x05且x0≠－4，又y＝1x＋4在(－5，－4)和(－4,5)上都是减函数，∴9251＋1x0＋4∈(－∞，0)∪25，＋∞，故kQFkPA的取值范围是(－∞，0)∪25，＋∞.