2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点课件函数与导数三十一

主攻40个必考点(三十一)函数与方程1．(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为()A．2B．3C．4D．5解析：选B令f(x)＝0，得2sinx－sin2x＝0，即2sinx－2sinxcosx＝0，∴2sinx(1－cosx)＝0，∴sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0,2π]，∴由sinx＝0，得x＝0，π或2π，由cosx＝1，得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()A．－12B.13C.12D．1解析：选C法一：由f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，得f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f(2－x)＝f(x)，即x＝1为f(x)图象的对称轴．由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x＝1，即f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝12.法二：由f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.ex－1＋e－x＋1≥2ex－1·e－x＋1＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．若a0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝12.若a≤0，则f(x)的零点不唯一．综上所述，a＝12.3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)解析：选C令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.4．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]的零点个数为________．解析：由题意可知，当3x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)＝0.∵x∈[0，π]，∴3x＋π6∈π6，19π6，∴当3x＋π6取值为π2，3π2，5π2时，f(x)＝0，即函数f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]的零点个数为3.答案：3[把脉考情]考什么1.判断函数的零点个数2.由函数零点或方程的根求参数的值或取值范围考多深在选择题、填空题中考查，难度中档偏高，分值5分考多宽函数零点问题作为压轴题出现时，很可能与函数的单调性、极值、最值等知识综合命题．考查逻辑推理、直观想象的核心素养命题角度1：判断函数零点所在区间[典例1]函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[一题多解](在发散思维中整合知识)法一：定理法函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－10，f(2)＝log320，f(3)＝20，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内．法二：图象法函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.[答案]B增分方略函数零点所在区间的判断方法及适用情形方法含义适用情形定理法利用函数的零点存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象解方程法可先解对应方程，然后看所求的根是否落在给定区间上当对应方程f(x)＝0易解时判断函数的零点个数[典例2](1)已知函数f(x)＝2－|x|，x≤2，x－22，x2，函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为()A．2B．3C．4D．5(2)函数f(x)＝x2－2，x≤0，2x－6＋lnx，x0的零点个数是________．[解析](1)由已知条件可得g(x)＝3－f(2－x)＝|x－2|＋1，x≥0，3－x2，x＜0.函数y＝f(x)－g(x)的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示．由图可知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有2个交点，所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2，选A.(2)当x≤0时，由x2－2＝0，得x＝－2；当x0时，f(x)＝2x－6＋lnx在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝ln2－20，f(3)＝ln30，所以f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上，f(x)的零点个数为2.[答案](1)A(2)2增分方略判断函数零点个数的3种方法方程法令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点零点存在性定理法利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质数形结合法转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点由函数零点或方程的根求参数的值或取值范围[典例3](1)对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是()A．[2,4]B.2，73C.73，3D．[2,3](2)若函数f(x)＝lnkx2－ln(x＋1)不存在零点，则实数k的取值范围是________．[解析](1)易知函数f(x)＝ex－1＋x－2的零点为x＝1，则α＝1，设函数g(x)＝x2－ax－a＋3的一个零点为β，若函数f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”，根据定义，得|1－β|≤1，解得0≤β≤2，作出函数g(x)＝x2－ax－a＋3的图象(图略)，因为g(－1)＝4，结合图象知，要使函数g(x)的零点在区间[0,2]内，则g0≥0，ga2≤0，0a22，即－a＋3≥0，a24－a22－a＋3≤0，0a4，解得2≤a≤3.(2)由题意可知kx0，x＋10，解得x－1且x≠0，当lnkx2＝ln(x＋1)时，可得lnkx＝2ln(x＋1)＝ln(x＋1)2，可得kx＝(x＋1)2⇒k＝x＋12x＝x＋1x＋2(x－1，x≠0)，由于x＋1x－2或x＋1x≥2⇒x＋1x＋20或x＋1x＋2≥4，要使函数f(x)＝lnkx2－ln(x＋1)不存在零点，只需k取函数g(x)＝x＋1x＋2的值域的补集，即{k|0≤k4}，当k＝0时，函数无意义，故k的取值范围为(0,4)．[答案](1)D(2)(0,4)增分方略已知函数的零点或方程的根求参数问题的3种方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围分离参数法先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解课下请完成“考点过关检测（三十一）”(单击进入电子文档)