2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点课件立体几何十一

主攻40个必考点(十一)空间几何体的表面积与体积1．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10π解析：选B设圆柱的轴截面的边长为x，则x2＝8，得x＝22，∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B.2．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.334B.233C.324D.32解析：选A如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD­A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等．如图所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6×12×22×22×sin60°＝334.故选A.3．(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D­ABC体积的最大值为()A．123B．183C．243D．543解析：选B由等边△ABC的面积为93，可得34AB2＝93，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝33AB＝23.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝R2－r2＝16－12＝2.所以三棱锥D­ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D­ABC体积的最大值为13×93×6＝183.4．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8B．62C．82D．83解析：选C如图，连接AC1，BC1，AC.∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝2sin30°＝4.在Rt△ACC1中，CC1＝AC21－AC2＝42－22＋22＝22，∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×22＝82.5．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图，∵SA与底面成45°角，∴△SAO为等腰直角三角形．设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝2r.在△SAB中，cos∠ASB＝78，∴sin∠ASB＝158，∴S△SAB＝12SA·SB·sin∠ASB＝12×(2r)2×158＝515，解得r＝210，∴SA＝2r＝45，即母线长l＝45，∴S圆锥侧＝πrl＝π×210×45＝402π.答案：402π6．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.解析：由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm，故V挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm3)．又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.8[把脉考情]考什么1.求空间几何体的体积(规则几何体与组合体的体积)2.求空间几何体的表面积(组合体的表面积)考多深多以选择题、填空题的形式考查，难度中等，有时以压轴题的形式呈现，考查创新性问题，分值5分考多宽空间几何体的表面积与体积有时借助古代数学文化考查，也涉及利用函数、导数、基本不等式求最值问题，考查直观想象、数学建模、数学运算的核心素养，注意转化与化归思想的应用空间几何体的体积[典例1](2019·武汉质检)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，过点D1，E，F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为V1，V2(V1V2)，则V1∶V2＝()A.13B.35C.2547D.79[解析]如图所示，延长FE交DA的延长线于G，延长EF交DC的延长线于I，连接D1G，D1I，D1G交AA1于H.设正方体的棱长为2a，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴AE＝EB＝a，易得AG＝a.∴A1D1∥AG，∴AH2a－AH＝AGA1D1，∴AH＝23a.则过点D1，E，F的截面下方体积为V1＝V三棱锥D1­DGI－2V三棱锥H­AGE＝13S△DGI·DD1－2×13S△AGE·AH＝13×12×3a×3a×2a－2×13×12a×a×2a3＝259a3.∴另一部分体积为V2＝8a3－259a3＝479a3，∴V1V2＝2547，故选C.[答案]C[典例2](2019·三明模拟)我国古代数学名著《九章算术》记载的刍甍是底面为矩形，顶部只有一条棱的几何体．如图为某个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则它的体积为()A.1603B．160C.2563D．64[一题多解](在发散思维中整合知识)法一：分割法——一割为三由三视图可知，该刍甍是一个如图所示的几何体．如图，分别取QN，PM上的两个四等分点B，E，C，F，连接AB，BC，AC，DE，DF，EF.则△ABC与△DEF所在的平面将该几何体分成一个直三棱柱ABC­DEF和两个全等的四棱锥A­BCPQ，四棱锥D­FENM.其中直三棱柱ABC­DEF中的△ABC与△DEF是等腰三角形，BC＝4，点A到BC的距离d＝4，设△ABC与△DEF的面积为S1，则S1＝12×4×4＝8.易知BE＝4，故直三棱柱ABC­DEF的体积V1＝S1×BE＝8×4＝32.四棱锥的底面是矩形，QB＝2，PQ＝4，故四棱锥的底面积S2＝2×4＝8.由三视图可得四棱锥的高h＝4，所以四棱锥的体积V2＝13S2h＝13×8×4＝323.所以该几何体的体积V＝V1＋2V2＝32＋2×323＝1603.法二：分割法——一割为二(还原直观图后，分割成一个三棱柱，一个四棱锥)如图，分别取PM，QN的中点G，H，连接DG，GH，DH，则△DGH所在平面将几何体分为一个三棱柱AQP­DHG与一个四棱锥D­GHNM.其中四棱锥D­GHNM的底面是边长为4的正方形，由三视图可得点D到平面GHNM的距离h＝4，故四棱锥D­GHNM的体积V1＝13×42×4＝643；三棱柱AQP­DHG的侧面QPGH是边长为4的正方形，侧棱AD到侧面QPGH的距离d＝4，故其体积V2＝12×42×4＝32.所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝643＋32＝1603.[答案]A增分方略1．处理体积问题的3种思路转换指的是转换底面与高，将原来不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高拆分指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算拼补指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱、将一个四棱锥复原成一个四棱柱、还台为锥，这些都是拼补的方法2．求体积的3种常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，把不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即三棱锥的任意一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换空间几何体的表面积[典例3](1)(2019·泸州一诊)在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A．(5＋2)πB．(4＋2)πC．(5＋22)πD．(3＋2)π(2)在正三棱锥O­ABC中，OA＝7，BC＝23，M为OA上一点，过点M且与平面ABC平行的平面截三棱锥成表面积相等的两部分，则OMOA＝()A.12B.13C.32D.33[解析](1)∵在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱挖去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥，∴该几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×12＋12＝(5＋2)π.故选A.(2)设过点M且与平面ABC平行的平面分别交OB，OC于点N，T，则被截得的上下两部分的表面积各去掉S△TMN之后仍相等，都等于正三棱锥O­ABC表面积的12.对于正三棱锥O­ABC，易知其表面积为3×23×2×12＋12×(23)2sin60°＝93，侧面积为63，所以三棱锥O­MNT的侧面积为932，故93263＝OMOA2＝34，所以OMOA＝32.[答案](1)A(2)32增分方略三类几何体表面积的求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”并展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其结构特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积2．避免两类失误(1)因对几何体的结构特征认识不准，混淆几何体侧面的边长与三视图中有关数据的关系而导致解题错误．一定要熟记三视图中的数据反映的是空间几何体的长、宽、高，而不一定是空间几何体的棱长．(2)在求解组合体的表面积时，注意几何体表面的构成，尤其是重合部分，面积不要多加或少减．体积与表面积的最值问题[典例4](1)(2019·洛阳第二次联考)已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面圆面积的最小值是________．(2)已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为________．[解析](1)设正三角形ABC的中心为O1，连接OO1，OA，O1A，由题意得O1O⊥平面ABC，O1O＝1，OA＝2，∴在Rt△O1OA中，O1A＝3，∴AB＝3.∵E为AB的中点，∴AE＝32.连接OE，则OE⊥AB.过点E作球O的截面(图略)，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径r＝32，可得截面圆面积的最小值为πr2＝9π4.(2)由题意得圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r，高为h，则h＝9－r2，所以圆锥的体积V＝13πr2h＝13πr29－r2＝13π9r4－r6.设f(r)＝9r4－r6(r0)，则f′(r)＝36r3－6r5，令f′(r)＝36r3－6r5＝6r3(6－r2)＝0，得r＝6，所以当0r6时，f′(r)0，f(r)单调递增，当r6时，f′(r)0，f(r)单调递减，所以f(r)max＝f(6)＝108，所以Vmax＝13π×108＝23π.[答案](1)9π4(2)23π增分方略求解几体积与表面积最值问题的思路(1)临界分析法：结合图形并根据条件进行分析取得最值的临界位置，再直接求出表面积与体积的最值．(2)目标函数法：利用条件建立所求最值问题的目标函数，然后根据函数结构求出最值．常见的有二次函数型、基本不等式型及