2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点课件统计与概率十九

主攻40个必考点(十九)二项分布与正态分布1．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解：(1)因为20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2·(1－p)18，所以f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．由于EX400，故应该对余下的产品作检验．2．(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9．9510.129.969.9610.019.929.9810.0410．269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x＝116i＝116xi＝9.97，s＝116i＝116xi－x2＝116i＝116x2i－16x2≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.用样本平均数x作为μ的估计值μ^，用样本标准差s作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σZμ＋3σ)＝0.9974.0.997416≈0.9592，0.008≈0.09.解：(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X～B(16,0.0026)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X的数学期望为EX＝16×0.0026＝0.0416.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估计值为10.02.i＝116x2i＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.[把脉考情]考什么1.二项分布2.正态分布考多深二项分布、正态分布的考查会以一道小题或一道大题的形式考查，难度中等，分值5～7分考多宽以实际生活为背景考查二项分布或正态分布的应用，试题综合性强．考查数学建模、数学运算的核心素养二项分布[典例1](2019·开封三模)某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立的．(1)求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；(2)若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m，n，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲、乙两人得分之和X的期望．[解](1)由题意可知，甲、乙两位同学共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题．故所求的概率P＝C14C22C36×C23232×13＋C24C12C36×C13132×23＋C34C36×C03133＝31135.(2)m的所有可能取值有1,2,3.P(m＝1)＝C14C22C36＝15，P(m＝2)＝C24C12C36＝35，P(m＝3)＝C34C36＝15，故E(m)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.由题意可知n～B3，23，故E(n)＝3×23＝2.而X＝15m＋10n，所以E(X)＝15E(m)＋10E(n)＝50.增分方略利用二项分布的期望公式求期望需过“四关”判断关判断离散型随机变量X是否服从二项分布B(n，p)公式关利用P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，求出X取各个值时的概率分布列关列出表格，得离散型随机变量的分布列结论关利用公式E(X)＝np求期望，D(X)＝np(1－p)求方差．熟记二项分布的概率、期望与方差公式，可以避免烦琐的运算过程正态分布[典例2]随机变量X～N(9，σ2)，P(X6)＝0.2，则P(9X12)＝()A．0.3B．0.4C．0.49865D．0.9973[解析]因为P(X6)＝0.2，所以P(6X9)＝0.5－0.2＝0.3，所以P(9X12)＝P(6X9)＝0.3.[答案]A[典例3](2019·汕头一模)为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值μ＝65，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值．(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率)；①P(μ－σX≤μ＋σ)≥0.6826；②P(μ－2σx≤μ＋2σ)≥0.9544；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)≥0.9974.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级；(2)将直径小于等于μ－2σ或直径大于μ＋2σ的零件认为是次品．①从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E(Y)；②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E(Z)．[解](1)由题意知μ－σ＝62.8，μ＋σ＝67.2，μ－2σ＝60.6，μ＋2σ＝69.4，μ－3σ＝58.4，μ＋3σ＝71.6，所以由图表知P(μ－σX≤μ＋σ)＝80100＝0.800.6826，P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝94100＝0.940.9544，P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝98100＝0.980.9974.所以该设备M的性能为丙级别．(2)由图表知，直径小于或等于μ－2σ的零件有2件，大于μ＋2σ的零件有4件，共计6件．①从设备M的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为6100＝350，依题意Y～B2，350，故E(Y)＝2×350＝325.②从100件样品中任意抽取2件，次品数Z的可能取值为0,1,2，P(Z＝0)＝C06C294C2100＝14571650，P(Z＝1)＝C16C194C2100＝1881650，P(Z＝2)＝C26C094C2100＝51650，故E(Z)＝0×14571650＋1×1881650＋2×51650＝1981650＝325.增分方略求正态分布下在区间内取值概率的关键点(1)熟记P(μ－σX≤μ＋σ)，P(μ－2σX≤μ＋2σ)，P(μ－2σX≤μ＋3σ)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(Xa)＝1－P(X≥a)，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)．课下请完成“考点过关检测（十九）”(单击进入电子文档)