2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点课件统计与概率十六

主攻40个必考点(十六)排列与组合、二项式定理1．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种解析：选D因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有C24C12C11A22＝6种，再分配给3个人，有A33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．2．(2018·全国卷Ⅲ)x2＋2x5的展开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．80解析：选Cx2＋2x5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5·(x2)5－r·2xr＝Cr5·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C25·22＝40.3．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12B．16C．20D．24解析：选A法一：(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为1×C34＋2C14＝12.法二：∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系数为1×4＋2×4＝12.4．(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A．－80B．－40C．40D．80解析：选C当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含x2y3的项，即C35(2x)2(－y)3，当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含x3y2的项，即C25(2x)3(－y)2，所以x3y3的系数为C25×23－C35×22＝10×(8－4)＝40.5．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)解析：法一：(直接法)按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C12C24种，有2位女生参加有C22C14种．故共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种)．法二：(间接法)从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故共有C36－C34＝20－4＝16(种)．答案：16[把脉考情]考什么1.排列、组合的应用(均分或不均分问题，相邻或不相邻问题)2.二项式定理问题(二项展开式的项或某项的系数)考多深在选择题、填空题中考查，难度中等，分值5～10分考多宽1.多以实际生活为背景考查排列、组合的应用，在解答题中常与概率统计等知识综合命题，主要考查逻辑推理的核心素养2.二项式定理主要考查运算求解能力，注意转化与化归思想的应用两个原理的应用[典例1]如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色．现在有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(以数字作答)．[一题多解](在发散思维中整合知识)法一：以位置为主考虑第一步涂①，有4种着色方法．第二步涂②，有3种着色方法．第三步涂③，有2种着色方法．第四步涂④时分两类，第一类用余下的颜色，有1种着色方法．第五步涂⑤，有1种着色方法；第二类④与②同色，有1种着色方法，第五步涂⑤，有2种着色方法．所以不同的着色方法共有4×3×2×(1×1＋1×2)＝72(种)．法二：以颜色为主考虑分两类．(1)取4色：着色方法有2A44＝48种．(2)取3色：着色方法有A34＝24种．所以不同的着色方法共有48＋24＝72(种)．[答案]72增分方略涂色问题重点考查的数学核心素养为逻辑推理．这类问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合排列组合的知识灵活处理．其难点是对相邻区域涂不同颜色的处理，破解的方法一般是考虑所涂的位置，同时分步或分类逐步涂色．排列组合的应用[典例2](2020届高三·南昌调研)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有()A．120种B．156种C．188种D．240种[一题多解](在发散思维中整合知识)法一：按丙、丁的排序分类记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为A22A33，A22A33，C12A22A33，C13A22A33，C13A22A33，故总编排方案有A22A33＋A22A33＋C12A22A33＋C13A22A33＋C13A22A33＝120种．法二：按甲的排序分类记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有C14A22A33＝48种；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C13A22A33＝36种；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C13A22A33＝36种．所以编排方案共有48＋36＋36＝120种．[答案]A[典例3](2019·安徽示范高中高三测试)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．[一题多解](在发散思维中整合知识)法一：直接法若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选3张，若都不同色，则不同取法的种数为C14×C14×C14＝64，若2张颜色相同，则不同取法的种数为C23×C12×C24×C14＝144.若红色卡片有1张，则剩余2张不同色时，不同取法的种数为C14×C23×C14×C14＝192，剩余2张同色时，不同取法的种数为C14×C13×C24＝72，所以不同的取法共有64＋144＋192＋72＝472(种)．法二：间接法从16张不同的卡片中任取3张，不同取法的种数为C316，其中有2张红色卡片的不同取法的种数为C24×C112，其中3张卡片颜色相同的不同取法的种数为C14×C34，所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为C316－C24×C112－C14×C34＝472.[答案]472增分方略求解排列、组合问题的四个角度解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”．(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等．(3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决．(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．[典例4](1)(2019·兰州质检)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，并在其毕业后将其分到相应的地区任教．现需将6个免费培养的教育专业师范毕业生平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．(2)冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有______种．[解析](1)先把6个毕业生平均分成3组，有C26C24C22A33种分法；再将3组毕业生分到3所学校，有A33种分法．故将6个毕业生平均分到3所学校，不同的分派方法共有C26C24C22A33·A33＝90种．(2)5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有C35C122＋C15C242·A33＝150(种)．[答案](1)90(2)150增分方略分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题，按组合问题求解，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．(3)解决分组分配问题的基本指导思想是先分组，后分配．二项式定理[典例5](1)二项式(1＋x＋x2)(1－x)10展开式中x4的系数为()A．120B．135C．140D．100(2)(2019·南昌重点中学段考)(x－y＋2)6的展开式中y4的系数为________．(3)(2019·江淮十校联考)若(x＋a)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，当a5＝126时，实数a的值为________．[解](1)(1－x)10的展开式的通项Tr＋1＝Cr10·(－x)r＝(－1)rCr10xr，分别令r＝4，r＝3，r＝2，可得展开式中x4的系数为(－1)4C410＋(－1)3C310＋(－1)2C210＝135，故选B.(2)法一：因为(x－y＋2)6＝[(x＋2)－y]6，所以展开式中含y4的项为C46(x＋2)2y4＝15x2y4＋60xy4＋60y4，所以展开式中y4的系数为60.法二：由于(x－y＋2)6的展开式中y4项不含x，所以(x－y＋2)6的展开式中y4项就是(2－y)6的展开式中y4项，即C4622(－y)4＝60y4，所以(x－y＋2)6的展开式中y4的系数为60.(3)因为(x＋a)9＝[(x＋1)＋(a－1)]9＝Cr9(a－1)9－r·(x＋1)r，所以a5＝C59(a－1)4＝126，所以(a－1)4＝1，解得a＝0或2.[答案](1)B(2)60(3)0或2增分方略(1)在应用通项公式时，要注意以下几点①它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定．②Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项．③公式中，a，b的指数和为n且a，b不能随便颠倒位置．④对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．(2)在二项式定理的应用中，“赋值法”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．课下请完成“考点过关检测（十六）”(单击进入电子文档)