2020版新高考二轮复习理科数学专项小测2620题21题解析

专项小测(二十六)“20题、21题”时间：45分钟满分：24分20.(12分)在全国第五个“扶贫日”到来之际，某省开展“精准脱贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．A镇有基层干部50人，B镇有基层干部80人，C镇有基层干部70人，每人都走访了不少贫困户．按照分层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将完成走访数量分成5组：[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]，绘制成如下频率分布直方图．(1)求这40人中共有多少人来自B镇，并估计三镇基层干部共走访多少贫困户．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取4人，记这4人中工作出色的人数为X，求X的分布列及数学期望．解：(1)A，B，C三镇分别有基层干部50人，80人，70人，共200人，利用分层抽样的方法选40人，则B镇应选取80×40200＝16(人)．(2分)40名基层干部走访贫困户的平均数量x＝10×0.15＋20×0.25＋30×0.3＋40×0.2＋50×0.1＝28.5.(4分)用样本估计总体，得三镇所有基层干部走访贫困户的总数量为28.5×200＝5700(户)．(6分)(2)由频率分布直方图得，从三镇的所有基层干部中随机挑选1人，其工作出色的概率为35.(7分)易知X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且X～B4，35，则P(X＝4)＝354＝81625，P(X＝3)＝C34×251×353＝216625，P(X＝2)＝C24×252×352＝216625，P(X＝1)＝C14×253×351＝96625，P(X＝0)＝254＝16625，(10分)所以X的分布列为X43210P816252166252166259662516625E(X)＝35×4＝125.(12分)21．(12分)已知函数f(x)＝lnx－ax，a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数f(x)存在两个零点x1，x2，使lnx1＋lnx2－m＞0，求m的最大值．思路分析：(1)求导，分a≤0和a＞0讨论单调性；(2)由函数的零点，得lnx1－ax1＝0，lnx2－ax2＝0，结合已知条件，得lnx1x2x1－x2＞mx1＋x2，不妨设0＜x1＜x2，则lnx1x2＜mx1－x2x1＋x2，令t＝x1x2，则t∈(0,1)，lnt＜mt－1t＋1，构造函数g(t)＝lnt－mt－1t＋1(0＜t＜1)，求导后再分m≤1、1＜m≤2、m＞2讨论求解．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a＞0时，令f′(x)＝0，得x＝1a＞0，当x∈0，1a时，f′(x)＞0；当x∈1a，＋∞时，f′(x)＜0.所以f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．(4分)(2)因为lnx1－ax1＝0，lnx2－ax2＝0，即lnx1＝ax1，lnx2＝ax2.两式相减得lnx1－lnx2＝a(x1－x2)，即a＝lnx1x2x1－x2.由已知lnx1＋lnx2＞m，得a(x1＋x2)＞m.因为x1＞0，x2＞0，所以a＞mx1＋x2，即lnx1x2x1－x2＞mx1＋x2.(6分)不妨设0＜x1＜x2，则lnx1x2＜mx1－x2x1＋x2.令t＝x1x2，则t∈(0,1)，所以lnt＜mt－1t＋1，即lnt－mt－1t＋1＜0恒成立．(7分)设g(t)＝lnt－mt－1t＋1(0＜t＜1)．则g′(t)＝t2＋21－mt＋1tt＋12.令h(t)＝t2＋2(1－m)t＋1，则h(0)＝1，h(t)的图象开口向上，对称轴方程为t＝m－1，方程t2＋2(1－m)t＋1＝0的判别式Δ＝4m(m－2)．(8分)①当m≤1时，h(t)在(0,1)上单调递增，所以当0＜t＜1时，h(t)＞h(0)＝1，所以g′(t)＞0.g(t)在(0,1)上单调递增，所以g(t)＜g(1)＝0在(0,1)上恒成立．(9分)②当1＜m≤2时，Δ＝4m(m－2)≤0，h(t)≥0在(0,1)上恒成立，所以g′(t)＞0，g(t)在(0,1)上单调递增，所以g(t)＜g(1)＝0在(0,1)上恒成立．(10分)③当m＞2时，h(t)在(0,1)上单调递减，因为h(0)＝1，h(1)＝4－2m＜0，所以存在t0∈(0,1)，使得h(t0)＝0.当t∈(0，t0)时，h(t)＞0，g′(t)＞0；当t∈(t0,1)时，h(t)＜0，g′(t)＜0.所以g(t)在(0，t0)上单调递增，在(t0,1)上单调递减．所以当t∈(t0,1)时，都有g(t)＞g(1)＝0，所以g(t)＜0在(0,1)上不恒成立．综上所述，m的取值范围是(－∞，2]，所以m的最大值为2.(12分)