古诗《山村》

专项小测(七)“12选择＋4填空”时间：45分钟满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记复数z的虚部为Im(z)，已知z满足iz＝1＋2i，则Im(z)为()A．－1B．－iC．2D．2i解析：由iz＝1＋2i，得z＝1＋2ii＝()1＋2iii2＝2－i，∴Im(z)＝－1，故选A.答案：A2．已知集合A＝{}x，y|x2－6x＋y2－4y＋9＝0，B＝{}x，y|x＋12＋y－22＝9，则A∩B中的元素的个数为()A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：∵A＝{(x，y)|x2－6x＋y2－4y＋9＝0}＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－2)2＝4}，B＝{(x，y)|(x＋1)2＋(y－2)2＝9}，∴圆心距d＝[3－－1]2＋2－22＝4，得1＝|r1－r2|＜d＜r1＋r2＝5，∴两圆的位置关系为相交，∴A∩B中有2个元素，故选C.答案：C3．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为()A.2B.3C．2D．3解析：因为双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线方程为y＝2x，所以ba＝2，即b2＝2a2，而a2＋b2＝c2，所以c2＝3a2⇒c＝3a⇒e＝ca＝3，故选B.答案：B4．函数f(x)＝ex－1x的大致图象为()解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f′(x)＝xex－1－ex－1x2＝ex－1x－1x2.当x1时，f′(x)0，f(x)单调递增；当0＜x＜1，x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，显然当x0时，f(x)0；当x＜0时，f(x)＜0，故选B.答案：B5．在△ABC中，D为AB的中点，点E满足EB→＝4EC→，则ED→＝()A.56AB→－43AC→B.43AB→－56AC→C.56AB→＋43AC→D.43AB→＋56AC→解析：因为D为AB的中点，点E满足EB→＝4EC→，所以BD→＝12BA→，EB→＝43CB→，所以ED→＝EB→＋BD→＝43CB→＋12BA→＝43(CA→＋AB→)－12AB→＝56AB→－43AC→，故选A.答案：A6．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝18，a3＝9，则a6＝()A．12B．15C．18D．21解析：设等差数列{an}的公差为d，由S3＝18，a3＝9，得S3＝3a1＋3d＝18，a3＝a1＋2d＝9，解得a1＝d＝3，所以a6＝a1＋5d＝18，故选C.答案：C7．如图，在多面体ABCDEF中，AD⊥平面ABF，AD∥BC∥EF，AD＝4，BC＝3，AB＝BF＝EF＝2，∠ABF＝120°.则异面直线AF与CD所成角的余弦值为()A.155B.156C.158D.1515解析：过点A作CD的平行线交CB的延长线于点G，连接FG，则∠FAG就是异面直线AF与CD所成的角或其补角．因为AD∥BC，AD＝4，BC＝3，所以BG＝1.又AD⊥平面ABF，AD∥BG，所以AB⊥BG，BG⊥BF，所以AG＝AB2＋BG2＝5，FG＝FB2＋BG2＝5.由AB＝BF＝2，∠ABF＝120°，可得AF＝AB2＋BF2－2AB·BF·cos∠ABF＝23，故在△AFG中，由余弦定理得cos∠FAG＝AG2＋AF2－FG22AG·AF＝52＋232－522×5×23＝155.答案：A8．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B，则a的值为()A．25B．4C．23D．22解析：在△ABC中，由A＝2B，asinA＝bsinB，b＝3，c＝1，可得a2sinBcosB＝3sinB，整理得a＝6cosB，∴由余弦定理得a＝6×a2＋1－92a，解得a＝23，故选C.答案：C9．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则()A．f(－3)＜f(－log313)＜f(20.6)B．f(－3)＜f(20.6)＜f(－log313)C．f(20.6)＜f(－log313)＜f(－3)D．f(20.6)＜f(－3)＜f(－log313)解析：根据题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－3)＝f(3)，f(－log313)＝f(log313)，有20.6＜2＜log313＜log327＝3，又由f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则有f(20.6)＜f(－log313)＜f(－3)，故选C.答案：C10．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，点A(0，3)，Bπ6，0，则函数f(x)图象的一条对称轴方程为()A．x＝－π3B．x＝－π12C．x＝π18D．x＝π24解析：由图象过点A(0，3)，得2cosφ＝3，cosφ＝32，又|φ|＜π2，则φ＝±π6.因为图象是右平移，所以φ＝－π6，f(x)＝2cosωx－π6.再由图象过点Bπ6，0得2cosπω6－π6＝0，则πω6－π6＝2kπ＋π2(k∈Z)，又ω＞0，则ω的最小值为4，所以f(x)＝2cos4x－π6，当x＝π24时，f(x)取得最大值2，所以x＝π24是f(x)＝2cos4x－π6图象的一条对称轴，故选D.答案：D11．设两直线l1：x－2y－2＝0与l2：ax＋y＋1＝0垂直，则xa＋1x－24的展开式中x2的系数为()A．12B．3C.52D.72解析：∵两直线l1：x－2y－2＝0与l2：ax＋y＋1＝0垂直，∴12·(－a)＝－1，求得a＝2，则xa＋1x－24＝x2＋1x－24＝x－2816x4，要求其展开式中x2项，则是分子(x－2)8中展开式中的x6项，所以它的展开式中x2的系数为C28·216＝72，故选D.答案：D12．已知正三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，其底面边长为3，E，F，G分别为侧棱AB，AC，AD的中点．若O在三棱锥A－BCD内，且三棱锥A－BCD的体积是三棱锥O－BCD体积的3倍，则平面EFG截球O所得截面的面积为()A.938B.3π2C.15π4D．4π解析：如图所示，平面EFG截球O所得截面的图形为圆面．正三棱锥A－BCD中，过A作底面的垂线AH，垂足为H，与平面EFG交点记为K，连接OD，HD，依题意，得VA－BCD＝3VO－BCD，所以AH＝3OH，设球的半径为R，在Rt△OHD中，OD＝R，HD＝3，OH＝R2，由勾股定理得R2＝(3)2＋R22，解得R＝2.由于平面EFG∥平面BCD，所以AH⊥平面EFG，球心O到平面EFG的距离为KO，则KO＝R4＝12，设平面EFG截球O所得截面的半径为r，在Rt△KON中，r2＝KN2＝ON2－KO2＝R2－14＝154，所以截面圆的面积为πr2＝154π，故选C.答案：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知tanπ4－α＝13，则cos2α1－sin2α＝________.解析：因为tanπ4－α＝13，所以tanα＝tanπ4－π4－α＝1－tanπ4－α1＋tanπ4－α＝1－131＋13＝12，所以cos2α1－sin2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α－2sinαcosα＝cosα＋sinαcosα－sinαcosα－sinα2＝cosα＋sinαcosα－sinα＝1＋tanα1－tanα＝1＋121－12＝3.答案：314．在1－1x(1＋x)5的展开式中，x2项的系数为________(用数字作答)．解析：二项式(1＋x)5展开式的通项为Tr＋1＝Cr5xr(r＝0,1,2,3,4,5)，所以1－1x(1＋x5)的展开式中x2项为1×C25x2＋－1x×C35x3＝10x2－10x2＝0.答案：015．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝2－2an＋1，若a2＝12，则S5＝________.解析：由题意可知S1＝2－2a2＝1，且Sn＝2－2(Sn＋1－Sn)，整理得Sn＋1－2＝12(Sn－2)，由于S1－2＝－1，故S5－2＝(－1)×124＝－116，∴S5＝3116.答案：311616．已知圆锥的顶点为S，O为底面中心，A，B，C为底面圆周上不重合的三点，AB为底面的直径，SA＝AB，M为SA的中点．设直线MC与平面SAB所成角为α，则sinα的最大值为________．解析：以AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设SA＝AB＝4，则M(0，－1，3)，C(x，y,0)，如图所示，由对称性不妨设x＞0，y＜0且x2＋y2＝4，则MC→＝(x，y＋1，－3)，易知平面SAB的一个法向量为m＝(1,0,0)，所以sinα＝MC→·m|MC→|×|m|＝xx2＋y＋12＋3＝12×－y＋4－12y＋4＋8≤4－23＝3－1，当且仅当y＝23－4时等号成立．综上，sinα的最大值为3－1.答案：3－1