2020版新高考二轮复习理科数学教学案第二部分第10讲函数与导数答案

第10讲函数与导数调研一函数的性质■备考工具——————————————1．函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)函数单调性的常用结论：①若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；②若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0，则kf(x)与f(x)单调性相反；③函数y＝f(x)(f(x)0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1fx的单调性相反；④函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝fx的单调性相同．2．函数的奇偶性与对称性(1)偶函数和奇函数偶函数奇函数定义条件如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)结论函数f(x)叫做偶函数函数f(x)叫做奇函数图象特征图象关于y轴对称图象关于原点对称(2)奇偶函数的性质：①在公共定义域内：a．两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．b．两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数．c．一个奇函数和一个偶函数的积函数是奇函数．②若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(3)函数的对称性常用的结论：①函数y＝f(x)关于x＝a＋b2对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．特殊：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)；函数y＝f(x)关于x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．②函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b.特殊：函数y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；函数y＝f(x)关于(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．③y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．(4)常见奇函数：y＝kx，y＝kx3，y＝kx13，y＝kx，y＝Asinx，y＝Atanx，y＝ln1＋x1－x，y＝ln(1＋x2±1)，y＝1＋ax1－ax，y＝ax－a－x.(5)常见偶函数：y＝c，y＝k|x|，y＝kx2，y＝Acosx，y＝ax＋a－x.3．函数周期性(1)周期函数的定义：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)常见的几个结论：周期函数y＝f(x)满足：①若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；②若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；③若f(x＋a)＝1fx，则函数的周期为2a；④若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则函数f(x)的周期为2|b－a|；⑤若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期为2|b－a|；⑥若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期为4|b－a|；⑦若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；⑧若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.■自测自评——————————————1．[2019·全国卷Ⅰ]已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜c＜a解析：∵a＝log20.2＜0，b＝20.2＞1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a＜c＜b.故选B.答案：B2．[2019·天津卷]已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为()A．acbB．abcC．bcaD．cab解析：a＝log52log55＝12，而c＝0.50.20.51＝12，故ac；b＝log0.50.2log0.50.25＝2，而c＝0.50.20.50＝1，故cb.所以acb.答案：A3．[2019·全国卷Ⅲ]设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则()解析：根据函数f(x)为偶函数可知，flog314＝f(－log34)＝f(log34)，因为0＜＜＜20＜log34，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f()＞f()＞f(log314)．答案：C4．[2019·湖北重点中学]已知函数f(x)＝(ex＋e－x)·ln1－x1＋x－1，若f(a)＝1，则f(－a)＝()A．1B．－1C．3D．－3解析：解法一：由题意，f(a)＋f(－a)＝(ea＋e－a)·ln1－a1＋a－1＋(ea＋e－a)ln1＋a1－a－1＝(ea＋e－a)·ln1－a1＋a＋ln1＋a1－a－2＝－2，所以f(－a)＝－2－f(a)＝－3，故选D.解法二：令g(x)＝f(x)＋1＝(ex＋e－x)ln1－x1＋x，则g(－x)＝(e－x＋ex)ln1＋x1－x＝－(ex＋e－x)ln1－x1＋x＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以f(－a)＝g(－a)－1＝－g(a)－1＝－f(a)－2＝－3，故选D.答案：D5．[2019·山西第一次联考]已知函数g(x)＝f(2x)－x2是奇函数，且f(1)＝2，则f(－1)＝()A．－32B．－1C.32D.74解析：令x＝12，则g12＝f(1)－14，因为f(1)＝2，所以g12＝2－14＝74.令x＝－12，则g－12＝f(－1)－14，f(－1)＝g－12＋14.因为g(x)是奇函数，所以g－12＝－g12＝－74，所以f(－1)＝－74＋14＝－32.故选A.答案：A6．[2019·广东六校联考]定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)及f(x)＝－f(－x)，且在[0,1]上有f(x)＝x2，则f201912＝()A.94B.14C．－94D．－14解析：函数f(x)的定义域是R，f(x)＝－f(－x)，所以函数f(x)是奇函数，又f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以f201912＝f2020－12＝f－12＝－f12.因为在[0,1]上有f(x)＝x2，所以f12＝122＝14，故f201912＝－14，故选D.答案：D7．[2019·全国卷Ⅱ]设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－89，则m的取值范围是()A.－∞，94B.－∞，73C.－∞，52D.－∞，83解析：当－1＜x≤0时，0＜x＋1≤1，则f(x)＝12f(x＋1)＝12(x＋1)x；当1＜x≤2时，0＜x－1≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)；当2＜x≤3时，0＜x－2≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝22(x－2)(x－3)，……由此可得f(x)＝…12x＋1x，－1＜x≤0，xx－1，0＜x≤1，2x－1x－2，1＜x≤2，22x－2x－3，2＜x≤3，…由此作出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知当2＜x≤3时，令22(x－2)(x－3)＝－89，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝73或x＝83，将这两个值标注在图中．要使对任意x∈(－∞，m]都有f(x)≥－89，必有m≤73，即实数m的取值范围是－∞，73，故选B.答案：B8．[2019·全国卷Ⅱ]已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝________.解析：当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－e－ax.因为函数f(x)为奇函数，所以当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln2)＝e－aln2＝12a＝8，所以a＝－3.答案：－39．[2019·南昌重点中学]已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(－2017)＋f(2018)＝________.解析：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－2017)＝f(2017)，又f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为2的函数，∴f(2017)＝f(1)，f(2018)＝f(0)，又当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，∴f(1)＝e－1，f(0)＝0，∴f(－2017)＋f(2018)＝e－1.答案：e－110．[2019·湖南四校调研]已知定义在R上的奇函数f(x)满足fx＋52＋f(x)＝0，当－54≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，则f(16)＝________.解析：由fx＋52＋f(x)＝0，得f(x)＝－fx＋52＝f(x＋5)，所以函数f(x)是以5为周期的周期函数，则f(16)＝f(3×5＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，a＝－1，所以当－54≤x≤0时，f(x)＝2x－1，所以f(－1)＝－12，则f(1)＝－f(－1)＝12，故f(16)＝12.答案：12调研二函数的图象与零点、方程的根■备考工具——————————————1．图象的变换(1)平移变换：①y＝f(x±a)(a0)的图象，可由y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(＋a)或向右(－a)平移a个单位得到；②y＝f(x)±b(b0)的图象，可由y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(＋b)或向下(－b)平移b个单位得到．(2)对称变换：①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称；②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称；③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(3)伸缩变换：①y＝kf(x)(k0)的图象，可由y＝f(x)的图象上每一个点的纵坐标伸长(k1)或缩短(0k1)为原来的k倍而得到；②y＝f(kx)(k0)的图象，可由y＝f(x)的图象上每一个点的横坐标伸长(0k1)或缩短(k1)为原来的1k而得到．(4)翻折变换：①要得到y＝|f(x)|的图象，可先画出y＝f(x)的图象，然后“上不动，下翻上”即可得到；②由于y＝f(|x|)是偶函数，要得到y＝f(|x|)的图象，可先画出y＝f(x)的图象，然后“右不动，左去掉，右翻左”即可得到．2．利用函数的性质确定函数图象的一般步骤(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等)和图象上的特殊线(如渐近线、对称轴等)；(4)利用基本函数的图象确定所给函数的图象．3．函数零点的等价关系4．零点存在性定理■自测自评——————————————1．[2019·惠州调研]若函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|，其中a0，且a≠1，f(2)g(2)0，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象是()解析：由题意知f(x)＝ax－2是指数型函数，g(x)＝loga|x|是对数型函数，且是一个偶函数，由f