2020版新高考二轮复习理科数学教学案第二部分第5讲数列答案

第5讲数列调研一等差数列与等比数列■备考工具——————————————1．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.2．已知Sn求an时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论，特别注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.(2)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”．(3)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.3．递增数列：an＋1an，递减数列：an＋1an.4．等差数列的通项公式及前n项和的公式(1)an＝a1＋(n－1)d；(2)Sn＝na1＋nn－1d2＝na1＋an2.5．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}是等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}(p，q∈N*)也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．(6)若{an}是等差数列，则Snn也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的12.(7)若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．(8)S2n－1＝(2n－1)·an.(9)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为anbn＝S2n－1T2n－1.6．等比数列的相关公式(1)通项公式通项公式通项公式的推广an＝a1qn－1(揭示首末两项的关系)an＝amqn－m(揭示任意两项之间的关系)(2)前n项和公式Sn＝a11－qn1－qq≠1，na1q＝1或Sn＝a1－anq1－qq≠1，na1q＝1.7．等比数列的性质若{an}为等比数列，则(1){a2n}，1an，{c·an}(c≠0)都是等比数列．(2)各项及公比都不为0.8．等比数列项的运算性质若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a2k.(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….9．等比数列前n项和的性质若Sn是等比数列的前n项和，则当q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列．■自测自评——————————————1．[2019·全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝12n2－2n解析：解法一：设等差数列{an}的公差为d，∵S4＝0，a5＝5，∴4a1＋4×32d＝0，a1＋4d＝5，解得a1＝－3，d＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋nn－12d＝n2－4n.故选A.解法二：设等差数列{an}的公差为d，∵S4＝0，a5＝0，∴4a1＋4×32d＝0，a1＋4d＝5，解得a1＝－3，d＝2.选项A，a1＝2×1－5＝－3；选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；选项D，S1＝12－2＝－32，排除D.故选A.答案：A2．[2019·全国卷Ⅲ]已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A．16B．8C．4D．2解析：设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.答案：C3．[2019·太原一模]已知等比数列{an}满足a5＋a8＝2，a6·a7＝－8，则a2＋a11＝()A．5B．－5C．7D．－7解析：设{an}的公比为q，由等比数列的性质可得a5·a8＝a6·a7＝－8，所以a5，a8是方程y2－2y－8＝0的两根，得a5＝4a8＝－2或a5＝－2a8＝4.若a5＝4a8＝－2，则a8a5＝q3＝－12，所以q6＝－122＝14，q9＝－123＝－18.由a5＋a8＝a1q4＋a1q7＝a1q(q3＋q6)＝a1q－12＋14＝2，得a1q＝－8，故a2＋a11＝a1q(1＋q9)＝a1q1－18＝(－8)×78＝－7.若a5＝－2a8＝4，则a8a5＝q3＝－2，所以q6＝(－2)2＝4，q9＝(－2)3＝－8.由a5＋a8＝a1q4＋a1q7＝a1q(q3＋q6)＝a1q(－2＋4)＝2，得a1q＝1，故a2＋a11＝a1q(1＋q9)＝a1q(1－8)＝1×(－7)＝－7.故选D.答案：D4．[2019·福州质检]等比数列{an}的各项均为正实数，其前n项和为Sn.若a3＝4，a2a6＝64，则S5＝()A．32B．31C．64D．63解析：通解：设首项为a1，公比为q，因为an0，所以q0，由条件得a1·q2＝4a1q·a1q5＝64，解得a1＝1，q＝2，所以S5＝31，故选B.优解：设首项为a1，公比为q，因为an0，所以q0，由a2a6＝a24＝64，a3＝4，得q＝2，a1＝1，所以S5＝31，故选B.答案：B5．[2019·广州综合测试一]设Sn是等差数列{an}的前n项和，若m为大于1的正整数，且am－1－a2m＋am＋1＝1，S2m－1＝11，则m＝()A．11B．10C．6D．5解析：由am－1－a2m＋am＋1＝1可得2am－a2m＝1，即a2m－2am＋1＝0，解得am＝1，由S2m－1＝a1＋a2m－12m－12＝am×(2m－1)＝11，可得2m－1＝11，得m＝6，选C.答案：C6．[2019·惠州调研]已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝1,2a3，a5,3a4成等差数列，则数列{an}的前n项和Sn＝()A．2n－1B．2n－1－1C．2n－1D．2n解析：通解：设{an}的公比为q(q0)，由题意知2a5＝2a3＋3a4，∴2a3q2＝2a3＋3a3q，∴2q2＝2＋3q，∴q＝2或q＝－12(舍去)，所以an＝2n－1，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1.优解：当n＝1时，21－1－1＝0≠a1,21＝2≠a1，排除B，D；若Sn＝2n－1，则S2＝22－1＝2，得到a2＝2－1＝1，这时a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝1，不满足2a3，a5,3a4成等差数列，排除C，选A.答案：A7．[2019·福建宁德模拟]等差数列{an}中，a4＝9，a7＝15，则数列{(－1)nan}的前20项和等于()A．－10B．－20C．10D．20解析：设等差数列{an}的公差为d，由a4＝9，a7＝15，得a1＋3d＝9，a1＋6d＝15，解得a1＝3，d＝2，则an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，数列{(－1)nan}的前20项和为－3＋5－7＋9－11＋13－…－39＋41＝2＋2＋…＋2＝2×10＝20.故选D.答案：D8．[2019·江苏卷]已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．解析：通解：设等差数列{an}的公差为d，则a2a5＋a8＝(a1＋d)(a1＋4d)＋a1＋7d＝a21＋4d2＋5a1d＋a1＋7d＝0，S9＝9a1＋36d＝27，解得a1＝－5，d＝2，则S8＝8a1＋28d＝－40＋56＝16.优解：设等差数列{an}的公差为d.S9＝9a1＋a92＝9a5＝27，a5＝3，又a2a5＋a8＝0，则3(3－3d)＋3＋3d＝0，得d＝2，则S8＝8a1＋a82＝4(a4＋a5)＝4(1＋3)＝16.答案：169．[2019·北京卷]设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a2＝－3，S5＝－10，即a1＋d＝－3，5a1＋10d＝－10，∴可得a1＝－4，d＝1，∴a5＝a1＋4d＝0.∵Sn＝na1＋nn－12d＝12(n2－9n)，∴当n＝4或n＝5时，Sn取得最小值，最小值为－10.答案：0－1010．[2019·全国卷Ⅰ]记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝13，a24＝a6，则S5＝__________.解析：通解：设等比数列{an}的公比为q，因为a24＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝13，所以q＝3，所以S5＝a11－q51－q＝13×1－351－3＝1213.优解：设等比数列{an}的公比为q，因为a24＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝13，所以q＝3，所以S5＝a11－q51－q＝13×1－351－3＝1213.答案：1213调研二数列求和■备考工具——————————————1．求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－1d2.②等比数列的前n项和公式a．当q＝1时，Sn＝na1；b．当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)裂项相消：把一个数列的通项分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和．(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(5)倒序相加：把数列正着写和倒着写再相加，例如等差数列前n项和公式的推导方法．(6)并项求和：将某些具有某种特殊性质的项放在一起先求和，再求整体的和．2．常见的拆项公式(1)若{an}为各项都不为0的等差数列，公差为d(d≠0)，则1an·an＋1＝1d1an－1an＋1；(2)1nn＋k＝1k1n－1n＋k；(3)1n＋n＋1＝n＋1－n；(4)loga1＋1n＝loga(n＋1)－logan(a0且a≠1)．3．常见数列的前n项和(1)1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12；(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n；(3)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；(4)12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋12n＋16；(5)13＋23＋33＋…＋n3＝nn＋122.■自测自评——————————————1．[2019·太原一模]已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－(－1)nan＝2n－6＋12n(n∈N*)，则S100＝()A．196B．200C．194＋12100D．198＋12102解析：令n＝102，则S102－a102＝2×102－6＋12102，所以S102－(S102－S101)＝198＋12102，得S101＝198＋12102①，令n＝101，则S101＋a101＝2×101－6＋12101，所以S101＋(S101－S100)＝196＋12101，得2S101－S100＝196＋12101②，将①代入②得S100＝2×198＋12102－196