专题02函数的概念与基本初等函数2019年高考真题和模拟题分项汇编数学文解析

专题02函数的概念与基本初等函数I1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知0.20.32log0.2,2,0.2abc，则A．B．C．D．【答案】B【解析】22log0.2log10,a0.20221,b0.3000.20.21,c即01,c则acb．故选B．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e1x，则当x0时，f(x)=A．e1xB．e1xC．e1xD．e1x【答案】D【解析】由题意知()fx是奇函数，且当x≥0时，f(x)=e1x，则当0x时，0x，则()e1()xfxfx，得()e1xfx．故选D．【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sinsin2fxxx在[0，2π]的零点个数为A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】由()2sinsin22sin2sincos2sin(1cos)0fxxxxxxxx，abcacbcabbca得sin0x或cos1x，0,2πx，0πx、或2π．()fx在0,2π的零点个数是3.故选B．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养，直接求出函数的零点可得答案.4．【2019年高考天津文数】已知0.223log7,log8,0.3abc，则a，b，c的大小关系为A．cbaB．abcC．bcaD．cab【答案】A【解析】∵0.200.30.31c，22log7log42a，331log8log92b，∴cba.故选A.【名师点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时，要根据底数与1的大小进行判断.5．【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是A．12yxB．y=2xC．12logyxD．1yx【答案】A【解析】易知函数122,logxyyx，1yx在区间(0,)上单调递减，函数12yx在区间(0,)上单调递增.故选A.【名师点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.6．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f(x)=在[,]的图像大致为A．B．C．D．【答案】D【解析】由22sin()()sin()()cos()()cosxxxxfxfxxxxx，得()fx是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f2π(π)01πf，可知应为D选项中的图象．故选D．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．7．【2019年高考北京文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lgEmmE，其中星等为km的星的亮度为kE（k=1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg2EmmE，令211.45,26.7mm，则121222lg(1.4526.7)10.1,55EmmE2sincosxxxx从而10.11210EE.故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算.8．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1xya，1(2log)ayx(a0，且a≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当01a时，函数xya的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1xya的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log2ayx的图象过定点1(,0)2且单调递减，D选项符合；当1a时，函数xya的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1xya的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log2ayx的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a的不同取值范围，认识函数的单调性.9．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设fx是定义域为R的偶函数，且在0,单调递减，则A．f（log314）＞f（322）＞f（232）B．f（log314）＞f（232）＞f（322）C．f（322）＞f（232）＞f（log314）D．f（232）＞f（322）＞f（log314）【答案】C【解析】fx是定义域为R的偶函数，331(log)(log4)4ff．223303322333log4log31,1222,log422，又fx在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log4)22fff，即23323122log4fff.故选C．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．10．【2019年高考天津文数】已知函数2,01,()1,1.xxfxxx若关于x的方程1()()4fxxaaR恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为A．59,44B．59,44C．59,{1}44D．59,{1}44【答案】D【解析】作出函数2,01,()1,1xxfxxx的图象，以及直线14yx，如图，关于x的方程1()()4fxxaaR恰有两个互异的实数解，即为()yfx和1()4yxaaR的图象有两个交点，平移直线14yx，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a或54a，考虑直线1()4yxaaR与1yx在1x时相切，2114axx，由210a，解得1a（1舍去），所以a的取值范围是59,149.故选D.【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点个数问题，特别是其中一个函数的图象为直线时常用此法.11．【2019年高考浙江】已知,abR，函数32,0()11(1),032xxfxxaxaxx．若函数()yfxaxb恰有3个零点，则A．a–1，b0B．a–1，b0C．a–1，b0D．a–1，b0【答案】C【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=𝑏1−𝑎，则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3−12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3−12（a+1）x2﹣b，2(1)yxax，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；当a+1＞0，即a﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴𝑏1−𝑎＜0且{−𝑏＞013(𝑎+1)3−12(𝑎+1)(𝑎+1)2−𝑏＜0，解得b＜0，1﹣a＞0，b＞−16（a+1）3，则a–1，b0.故选C．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3−12（a+1）x2﹣b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．12．【2019年高考江苏】函数276yxx的定义域是▲.【答案】[1,7]【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得2760xx,即2670xx，解得17x，故函数的定义域为[1,7].【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．13．【2019年高考浙江】已知aR，函数3()fxaxx，若存在tR，使得2|(2)()|3ftft，则实数a的最大值是___________.【答案】43【解析】存在tR，使得2|(2)()|3ftft，即有332|(2)(2)|3attatt，化为22|23642|3att，可得2222364233att，即22436433att，由223643(1)11ttt，可得403a.则实数a的最大值是43.【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|attatt23，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.14．【2019年高考北京文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．【答案】①130；②15【解析】①10x时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付608010130元.②设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，当120y元时，李明得到的金额为80%y，符合要求；当120y元时，有80%70%yxy恒成立，即87,8yyxyx，因为min158y，所以x的最大值为15.综上，①130；②15.【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15．【2019年高考江苏】设(),()fxgx是定义在R上的两个周期函数，()fx的周期为4，()gx的周期为2，且()fx是奇函数.当2(]0,x时，2()1(1)fxx，(2),01()1,122kxxgxx，其中k0.若在区间(0，9]上，关于x的方程()()fxgx有8个不同的实数根，则k的取值范围是▲.【答案】12,34【解析】作出函数()fx，()gx的图象，如图：由图可知，函数2()1(1)fxx的图象与1()(12,34,56,78)2gxxxxx的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x的方程()()fxgx有2个不同的实数根，要使关于x的方程()()fxgx有8个不同的实数根，则2()1(1),(0,2]fxxx与()(2),(0,1]gxk