专题02导数2017年高考数学理试题分项版解析解析

1.【2017课标II，理11】若2x是函数21()(1)xfxxaxe的极值点，则()fx的极小值为（）A.1B.32eC.35eD.1【答案】A【解析】【考点】函数的极值；函数的单调性【名师点睛】(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同。(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。2.【2017课标3，理11】已知函数211()2()xxfxxxaee有唯一零点，则a=A．12B．13C．12D．1【答案】C【解析】试题分析：函数的零点满足2112xxxxaee，设11xxgxee，则211111111xxxxxxegxeeeee，当0gx时，1x，当1x时，0gx，函数gx单调递减，当1x时，0gx，函数gx单调递增，当1x时，函数取得最小值12g，设22hxxx，当1x时，函数取得最小值1，【考点】函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.3.【2017浙江，7】函数y=f(x)的导函数()yfx的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是【答案】D【解析】试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D．【考点】导函数的图象【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x轴的交点为0x，且图象在0x两侧附近连续分布于x轴上下方，则0x为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数)('xf的正负，得出原函数)(xf的单调区间．4.【2017课标1，理21】已知函数2()(2)xxfxaeaex.（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有两个零点，求a的取值范围.【解析】试题分析：（1）讨论()fx单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对a按0a，0a进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若0a，()fx至多有一个零点.若0a，当lnxa时，()fx取得最小值，求出最小值1(ln)1lnfaaa，根据1a，(1,)a，(0,1)a进行讨论，可知当(0,1)a有2个零点，设正整数0n满足03ln(1)na，则00000000()e(e2)e20nnnnfnaannn.由于3ln(1)lnaa，因此()fx在(ln,)a有一个零点.所以a的取值范围为(0,1).【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围.【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()fx有2个零点求参数取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断ya与其交点的个数，从而求出a的范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()fx有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证有最小值两边存在大于0的点.5.【2017课标II，理】已知函数2lnfxaxaxxx，且0fx。(1)求a；(2)证明：fx存在唯一的极大值点0x，且2202efx。【答案】(1)1a；(2)证明略。【解析】（2）由（1）知2lnfxxxxx，'22lnfxxx。设22lnhxxx，则1'2hxx。当10,2x时，'0hx；当1,2x时，'0hx，所以hx在10,2单调递减，在1,2单调递增。【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系。(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数。(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题。(4)考查数形结合思想的应用。6.【2017课标3，理21】已知函数1lnfxxax.（1）若0fx，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n2111111222nm，求m的最小值.【答案】(1)1a；(2)3【解析】试题分析：(1)由原函数与导函数的关系可得x=a是fx在0，+x的唯一最小值点，列方程解得1a；(2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩，求得2111111222ne，结合231111112222可知实数m的最小值为3【考点】导数研究函数的单调性；导数研究函数的最值；利用导数证明不等式【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．7.【2017山东，理20】已知函数22cosfxxx，cossin22xgxexxx，其中2.71828e是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线yfx在点,f处的切线方程；（Ⅱ）令hxgxafxaR，讨论hx的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）222yx.（Ⅱ）综上所述：当0a时，hx在,0上单调递减，在0,上单调递增，函数hx有极小值，极小值是021ha；当01a时，函数hx在,lna和0,lna和0,上单调递增，在ln,0a上单调递减，函数hx有极大值，也有极小值，极大值是2lnln2lnsinlncosln2haaaaaa极小值是021ha；当1a时，函数hx在,上单调递增，无极值；当1a时，函数hx在,0和ln,a上单调递增，在0,lna上单调递减，函数hx有极大值，也有极小值，极大值是021ha；极小值是2lnln2lnsinlncosln2haaaaaa.（Ⅱ）由题意得2()(cossin22)(2cos)xhxexxxaxx，因为cossin22sincos222sinxxhxexxxexxaxx2sin2sinxexxaxx2sinxeaxx，令sinmxxx则1cos0mxx所以mx在R上单调递增.因为(0)0,m所以当0x时，()0,mx当0x时，0mx极大值为2lnln2lnsinlncosln2haaaaaa，当0x时hx取到极小值，极小值是021ha；②当1a时，ln0a，所以当,x时，0hx，函数hx在,上单调递增，无极值；当1a时，函数hx在,上单调递增，无极值；当1a时，函数hx在,0和ln,a上单调递增，在0,lna上单调递减，函数hx有极大值，也有极小值，极大值是021ha；极小值是2lnln2lnsinlncosln2haaaaaa.【考点】1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.【名师点睛】1.函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f′(x0)(x−x0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．2.本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.8.【2017北京，理19】已知函数()ecosxfxxx．（Ⅰ）求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)1y；（Ⅱ）最大值1；最小值2.【解析】所以函数()fx在区间π[0,]2上单调递减.因此()fx在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f，最小值为ππ()22f.【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为fx不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设hxfx，再求hx，一般这时就可求得函数hx的零点，或是hx恒成立，这样就能知道函数hx的单调性，根据单调性求最值，从而判断yfx的单调性，求得最值.9.【2017天津，理20】设aZ，已知定义在R上的函数432()2336fxxxxxa在区间(1,2)内有一个零点0x，()gx为()fx的导函数.（Ⅰ）求()gx的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]mxx，函数0()()()()hxgxmxfm，求证：0()()0hmhx；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数,pq，且00[1,)(,2],pxxq满足041||pxqAq.【答案】（1）增区间是(,1)，1(,)4，减区间是1(1,)4.（2）（3）证明见解析当x变化时，(),()gxgx的变化情况如下表：x(,1)1(1,)41(,)4()gx+-+()gx↗↘↗所以，()gx的单调递增区间是(,1)，1(,)4，单调递减区间是1(1,)4.（III）证明：对于任意的正整数p，q，且00[1)(,],2pxxq，令pmq，函数0()()()()hgmxxxmf.由（II）知，当0[1),mx时，()hx在区间0(,)mx内有零点；当0(,2]mx时，()hx在区间0(),xm内有零点.所以()hx在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为1x，则110()()()()0pphgxfqxqx.由（I）知()gx在[1,2]上单调递增，故10()()12()gxgg，于是432234041()|()||2336|||||()()(2)2ppffpppqpqpqaqqqxqgxggq.因为当[12],x时，()0gx，故()fx在[1,2]上单调递增，所以()fx在区间[1,2]