专题03三角与向量2017年高考数学理试题分项版解析解析

1.【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】【考点】三角函数图像变换.【名师点睛】对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sincos(),cossin()22；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x而言.2.【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图像关于直线x=83对称C．f(x+π)的一个零点为x=6D．f(x)在(2,π)单调递减【答案】D【解析】【考点】函数cosyAx的性质【名师点睛】(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，则最小正周期为2T；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asinωx或y＝Acosωx＋b的形式.(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令2xkkZ，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可.3.【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=AB+AD，则+的最大值为A．3B．22C．5D．2【答案】A【解析】试题分析：如图所示，建立平面直角坐标系【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.4.【2017北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“0mn”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若0，使mn，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800mnmnmnT，若0mn，那么两向量的夹角为0090,180，并不一定反向，即不一定存在负数，使得mn，所以是充分不必要条件，故选A.【考点】1.向量；2.充分必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若,pqqp，那么p是q的充分不必要，同时q是p的必要不充分条件，若pq，那互为充要条件，若pq，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若:,:pxAqxB,若AB，那么p是q的充分必要条件，同时q是p的必要不充分条件，若AB，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p是q条件的判断，转化为q是p条件的判断.5.【2017天津，理7】设函数()2sin()fxx，xR，其中0，||.若5()28f，()08f，且()fx的最小正周期大于2，则（A）23，12（B）23，12（C）13，24（D）13，24【答案】A【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关sin()yAx问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A，再根据周期或12周期或14周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.6.【2017课标II，理12】已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC的最小是（）A.2B.32C.43D.1【答案】B【解析】【考点】平面向量的坐标运算；函数的最值【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决。7.【2017山东，理9】在C中，角，，C的对边分别为a，b，c．若C为锐角三角形，且满足sin12cosC2sincosCcossinC，则下列等式成立的是（A）2ab（B）2ba（C）2（D）2【答案】A【解析】试题分析：sin()2sincos2sincoscossinACBCACAC所以2sincossincos2sinsin2BCACBAba，选A.【考点】1.三角函数的和差角公式2.正弦定理.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有，，C的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2ab.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.8.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若1sin3，cos()=___________.【答案】79【解析】【考点】1.同角三角函数；2.诱导公式；3.两角差的余弦公式.【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，与关于y轴对称，则2k，若与关于x轴对称，则02k，若与关于原点对称，则2kkZ.9.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=.【答案】23【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos60412abaabb所以|2|1223ab.秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2ab的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为23.【考点】平面向量的运算.【名师点睛】平面向量中涉及到有关模长的问题，用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.10.【2017天津，理13】在ABC△中，60A∠，3AB，2AC.若2BDDC，()AEACABR，且4ADAE，则的值为___________.【答案】311【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的,ABAC已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.11.【2017山东，理12】已知12,ee是互相垂直的单位向量，若123ee与12ee的夹角为60，则实数的值是.【答案】33【解析】试题分析：2212121121223333eeeeeeeeee，22212121122333232eeeeeeee，222221212112221eeeeeeee，22321cos601，解得：33．【考点】1.平面向量的数量积.2.平行向量的夹角.3.单位向量.【名师点睛】1.平面向量a与b的数量积为·cosabab＝，其中是a与b的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180.2.由向量的数量积的性质有||=aaa·，·cosabab，·0abab＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立的方程.12.【2017浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S，6S．【答案】332【考点】数学文化【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解．13.【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．【答案】1510,24【解析】试题分析：取BC中点E，DC中点F，由题意：,AEBCBFCD，△ABE中，1cos4BEABCAB，1115cos,sin14164DBCDBC，BC115sin22DSBDBCDBC△．又2110cos12sin,sin44DBCDBFDBF，10cossin4BDCDBF，综上可得，△BCD面积为152，10cos4BDC．【考点】解三角形【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．14．【2017浙江，15】已知向量a，b满足1,2,ab则abab的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，25【解析】【考点】平面向量模长运算【名师点睛】本题通过设入向量,ab的夹角，结合模长公式，解得54cos54cosabab，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．15.【2017课标II，理14】函数23sin3cos4fxxx（0,2x）的最大值是。【答案】1【解析】【考点】三角变换，复合型二次函数的最值。【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析。16.【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为23sinaA（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin23sinaacBA，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sinsinBC的值；（2）由1cos