专题05平面解析几何2019年高考真题和模拟题分项汇编数学理解析

专题05平面解析几何1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C的焦点为121,01,0FF()，()，过F2的直线与C交于A，B两点．若22||2||AFFB，1||||ABBF，则C的方程为A．2212xyB．22132xyC．22143xyD．22154xy【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2FBn，则212,3AFnBFABn，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn．在1AFB△中，由余弦定理推论得22214991cos2233nnnFABnn．在12AFF△中，由余弦定理得2214422243nnnn，解得32n．2222423,3,312,anabac所求椭圆方程为22132xy，故选B．法二：由已知可设2FBn，则212,3AFnBFABn，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn．在12AFF△和12BFF△中，由余弦定理得2221222144222cos4422cos9nnAFFnnnBFFn，又2121,AFFBFF互补，2121coscos0AFFBFF，两式消去2121coscosAFFBFF,，得223611nn，解得32n．2222423,3,312,anabac所求椭圆方程为22132xy，故选B．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆2231xypp的一个焦点，则p=A．2B．3C．4D．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)ypxp的焦点(,0)2p是椭圆2231xypp的一个焦点，所以23()2ppp，解得8p，故选D．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p的方程，从而解出p，或者利用检验排除的方法，如2p时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，从而得到选D．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F为双曲线C：22221(0,0)xyabab的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆222xya交于P，Q两点．若PQOF，则C的离心率为A．2B．3C．2D．5【答案】A【解析】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQx轴，又||PQOFc，||,2cPAPA为以OF为直径的圆的半径，∴||2cOA，,22ccP，又P点在圆222xya上，22244cca，即22222,22ccaea．2e，故选A．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：2242xy=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若=POPF，则△PFO的面积为A．324B．322C．22D．32【答案】A【解析】由222,2,6,abcab6,2PPOPFx，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在byxa上，则263222PPbyxa，1133262224PFOPSOFy△，故选A．【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．5．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1xyab（a＞b＞0）的离心率为12，则A．a2=2b2B．3a2=4b2C．a=2bD．3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2cecaba，化简得2234ab，故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识､基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和,,abc的关系可得满足题意的等式.6．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：221||xyxy就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是A．①B．②C．①②D．①②③【答案】C【解析】由221xyxy得，221yxyx，2222||3341,10,2443xxxyx厔，所以x可取的整数有0，−1，1，从而曲线22:1Cxyxy恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)，(−1，0)，(−1，1)，共6个整点，结论①正确.由221xyxy得，222212xyxy„，解得222xy，所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2.结论②正确.如图所示，易知0,1,1,0,1,1,,0,1ABCD，四边形ABCD的面积13111122ABCDS四边形，很明显“心形”区域的面积大于2ABCDS四边形，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.故选C.【名师点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识､基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.7．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24yx的焦点为F，准线为l，若l与双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线分别交于点A和点B，且||4||ABOF（O为原点），则双曲线的离心率为A．2B．3C．2D．5【答案】D【解析】抛物线24yx的准线l的方程为1x，双曲线的渐近线方程为byxa，则有(1,),(1,)bbABaa，∴2bABa，24ba，2ba，∴225cabeaa.故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度.解答时，只需把4ABOF用,,abc表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.8．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是A．22B．1C．2D．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0xy，所以ab，则222caba，所以双曲线的离心率2cea.故选C.【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得ab，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.9．【2019年高考浙江卷】已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r.若直线230xy与圆C相切于点(2,1)A，则m=___________，r=___________．【答案】2，5【解析】由题意可知11:1(2)22ACkACyx，把(0,)m代入直线AC的方程得2m，此时||415rAC.【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m代入后求得m，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.10．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195xy的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是___________．【答案】15【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OFOM|=c=，由中位线定理可得12||4PFOM，设(,)Pxy，可得22(2)16xy，与方程22195xy联立，可解得321,22xx（舍），又点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,22P，所以1521512PFk.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PFOM，即342ppaexx，从而可求得315,22P，所以1521512PFk.【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.11．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12FF，为椭圆C:22+13620xy的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若12MFF△为等腰三角形，则M的坐标为___________.【答案】3,15【解析】由已知可得2222236,20,16,4abcabc，11228MFFFc，∴24MF．设点M的坐标为0000,0,0xyxy，则121200142MFFSFFyy△，又122201482415,44152MFFSy△，解得015y，2201513620x，解得03x（03x舍去），M\的坐标为3,15．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MFMF、，设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标.12．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若1FAAB，120FBFB，则C的离心率为____________．【答案】2【解析】如图，由1,FAAB得1.FAAB又12,OFOF得OA是三角形12FFB的中位线，即22,2.BFOABFOA∥由120FBFB，得121,,FBFBOAFA∴1OBOF，1AOBAOF，又OA与OB都是渐近线，得21,BOFAOF又21πBOFAOBAOF，∴2160,BOFAOFBOA又渐近线OB的斜率为tan603ba，∴该双曲线的离心率为221()1(3)2cbeaa．【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到1FAAB和1OAFA，从而可以得到1AOBAOF，再结合双曲线的渐近线可得21,BOFAOF进而得到2160,BOFAOFBOA从而由tan603ba可求离心率.13．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yxbb经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲.【答案】2yx【解析】由已知得222431b，解得2b或2b，因为0b，所以2b.因为1a，所以双曲线的渐近线方程为2yx.【名师点睛