专题06三角函数及解三角形2019年高考真题和模拟题分项汇编数学文解析

专题06三角函数及解三角形1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f(x)=在[,]的图像大致为A．B．C．D．【答案】D【解析】由22sin()()sin()()cos()()cosxxxxfxfxxxxx，得()fx是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又22π1π42π2()1,π2π()2f2π(π)01πf，排除B，C，故选D．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()fx是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A．−2−3B．−2+3C．2−3D．2+3【答案】D【解析】tan255tan(18075)tan75tan(4530)=tan45tan301tan45tan3031323.313故选D.【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式2sincosxxxx计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA−bsinB=4csinC，cosA=−14，则bc=A．6B．5C．4D．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224abc，由余弦定理推论可得2222214131cos,,,422424bcacccAbcbcb3462bc，故选A．【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a，b，c关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x1=4，x2=4是函数f(x)=sinx(0)两个相邻的极值点，则=A．2B．32C．1D．12【答案】A【解析】由题意知，()sinfxx的周期232()44T，解得2．故选A．【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A．15B．55C．33D．255【答案】B【解析】2sin2cos21αα，24sincos2cos.0,,cos02ααααα，sin0,α2sincosαα，又22sincos1，2215sin1,sin5αα，又sin0，5sin5，故选B．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sinsin2fxxx在[0，2π]的零点个数为A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】由()2sinsin22sin2sincos2sin(1cos)0fxxxxxxxx，得sin0x或cos1x，0,2πx，0π2πx、或．()fx在0,2π的零点个数是3，故选B．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0fx，得sin0x或cos1x，再根据x的取值范围可求得零点.7．【2019年高考北京卷文数】设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b时，()cossincosfxxbxx，()fx为偶函数；()fx为偶函数时，()=()fxfx对任意的x恒成立，即()cos()sin()cossinfxxbxxbx，cossincossinxbxxbx，得sin0bx对任意的x恒成立，从而0b.从而“0b”是“()fx为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R的函数()fx为偶函数等价于()=()fxfx恒成立进行判断.8．【2019年高考北京卷文数】如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ【答案】B【解析】设圆心为O，如图1，连接OA，OB，AB，OP，则22AOBAPB，所以22242OABS扇形，因为ABPAOBOABSSSS△△阴影扇形，且AOBOABSS△扇形，都已确定，所以当ABPS△最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P为弧AB的中点时（如图2），阴影部分的面积S取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π−β，面积S的最大值为ABPAOBOABSSSS△△阴影扇形=4β+S△POB+S△POA=4β+12|OP||OB|sin（π−β）+12|OP||OA|sin（π−β）=4β+2sinβ+2sinβ=4β+4sinβ，故选B.【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)fxAxA是奇函数，且fx的最小正周期为π，将yfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为gx.若2π4g，则3π8fA．−2B．2C．2D．2【答案】C【解析】∵()fx为奇函数，∴(0)sin0,=π,,0,fAkkkZ0；∵fx的最小正周期为π，2ππ,T∴2，∴1()sinsin,2gxAxAx又π()24g，∴2A，∴()2sin2fxx，3π()2.8f故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数gx，结合函数性质逐步得出,,A的值即可.10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos2fxxx的最小值为___________．【答案】4【解析】23π()sin(2)3coscos23cos2cos3cos12fxxxxxxx23172(cos)48x，1cos1x，当cos1x时，min()4fx，故函数()fx的最小值为4．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cosx的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos1x的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=___________.【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sinsinsincos0BAAB．(0,),(0,)AB，sin0,A∴sincos0BB，即tan1B，3.4B【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019年高考江苏卷】已知tan2π3tan4，则πsin24的值是▲.【答案】210【解析】由tan1tantantan2tan1πtan13tan1tan4，得23tan5tan20，解得tan2，或1tan3.πππsin2sin2coscos2sin4442222222sincoscossinsin2cos2=22sincos2222tan1tan=2tan1，当tan2时，上式22222122==22110；当1tan3时，上式=22112()1()2233[]=1210()13.综上，π2sin2.410【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在ABC△中，90ABC，4AB，3BC，点D在线段AC上，若45BDC，则BD___________，cosABD___________．【答案】1225，7210【解析】如图，在ABD△中，由正弦定理有：sinsinABBDADBBAC，而3π4,4ABADB,225AC=AB+BC=，34sin,cos55BCABBACBACACAC，所以1225BD.ππ72coscos()coscossinsin4410ABDBDCBACBACBAC.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD△中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC△的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知sinsin2ACabA．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．【答案】（1）B=60°；（2）33(,)82.【解析】（1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin2ACABA．因为sinA0，所以sinsin2ACB．由180ABC，可得sincos22ACB，故cos2sincos222BBB．因为cos02B，故1sin22B，因此B=60°．（2）由题设及（1）知△ABC的面积34ABCSa△．由正弦定理得sin120sin31sinsin2tan2CcAaCCC．由于△ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°，由（1）知A+C=120°，所以30°C90°，故122a，从而3382ABCS△．因此，△ABC面积的取值范围是33,82．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查VABC是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC中，a=3，–2bc，cosB=12．（1）求b，c的值；（2）求sin（B+C）的值．【答案】（1）7b，5c；（2）3314.【解析】（1）由余弦定理2222cosbacacB，得2221323()2bcc．因为2bc，所以2221(2)323()2ccc．解得5c．所以7b．（2）由1cos2B得