专题06三角函数及解三角形2019年高考真题和模拟题分项汇编数学理解析

专题06三角函数及解三角形1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在[,]的图像大致为A．B．C．D．【答案】D【解析】由22sin()()sin()()cos()()cosxxxxfxfxxxxx，得()fx是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又22π1π42π2()1,π2π()2f2π(π)01πf，排除B，C，故选D．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()fx是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin|||sin|fxxx有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（2，）单调递增③f(x)在[,]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④B．②④C．①④D．①③【答案】C【解析】sinsinsinsin,fxxxxxfxfx为偶函数，故①正确．当ππ2x时，2sinfxx，它在区间,2单调递减，故②错误．2sincosxxxx当0πx时，2sinfxx，它有两个零点：0；当π0x时，sinsinfxxx2sinx，它有一个零点：π，故fx在,有3个零点：0，故③错误．当2,2xkkkN时，2sinfxx；当2,22xkkkN时，sinsin0fxxx，又fx为偶函数，fx的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．【名师点睛】本题也可画出函数sinsinfxxx的图象（如下图），由图象可得①④正确．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2为周期且在区间(4，2)单调递增的是A．f(x)=|cos2x|B．f(x)=|sin2x|C．f(x)=cos|x|D．f(x)=sin|x|【答案】A【解析】作出因为sin||yx的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；因为coscosyxx，周期为2π，排除C；作出cos2yx图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4，2)单调递增，A正确；作出sin2yx的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4，2)单调递减，排除B，故选A．图1图2图3【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数()yfx的周期是函数()yfx周期的一半；②sinyx不是周期函数.4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=A．15B．55C．33D．255【答案】B【解析】2sin2cos21αα，24sincos2cos.0,,cos02ααααα，sin0,α2sincosαα，又22sincos1，2215sin1,sin5αα，又sin0，5sin5，故选B．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数fx=sin（5x）(＞0)，已知fx在0,2有且仅有5个零点，下述四个结论：①fx在（0,2）有且仅有3个极大值点②fx在（0,2）有且仅有2个极小值点③fx在（0,10）单调递增④的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A．①④B．②③C．①②③D．①③④【答案】D【解析】①若()fx在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象，由图1可知，()fx在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，()fx在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；④当fx=sin（5x）=0时，5x=kπ（k∈Z），所以ππ5kx，因为()fx在[0,2π]上有5个零点，所以当k=5时，π5π52πx，当k=6时，π6π52πx，解得1229510ω，故④正确.③函数fx=sin（5x）的增区间为：πππ2π2π252kxk，732π2π1010kkx.取k=0，当125时，单调递增区间为71ππ248x，当2910时，单调递增区间为73ππ2929x，综上可得，fx在π0,10单调递增.故③正确.所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错．6．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)fxAxA是奇函数，将yfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为gx．若gx的最小正周期为2π，且24g，则38fA．2B．2C．2D．2【答案】C【解析】∵()fx为奇函数，∴(0)sin0,=π,,0,fAkkkZ0；又12π()sin,2π,122gxAxT∴2，又π()24g，∴2A，∴()2sin2fxx，3π()2.8f故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数gx，再根据函数性质逐步得出,,A的值即可.7．【2019年高考北京卷理数】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．【答案】π2【解析】函数2sin2fxx1cos42x，周期为π2.【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc.若π6,2,3bacB，则ABC△的面积为_________．【答案】63【解析】由余弦定理得2222cosbacacB，所以2221(2)2262cccc，即212c，解得23,23cc（舍去），所以243ac，113sin432363.222ABCSacB△【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c的方程，应用,ac的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．9．【2019年高考江苏卷】已知tan2π3tan4，则πsin24的值是▲.【答案】210【解析】由tan1tantantan2tan1πtan13tan1tan4，得23tan5tan20，解得tan2，或1tan3.πππsin2sin2coscos2sin4442222222sincoscossinsin2cos2=22sincos2222tan1tan=2tan1，当tan2时，上式22222122==22110；当1tan3时，上式=22112()1()2233[]=1210()13.综上，π2sin2.410【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.10．【2019年高考浙江卷】在ABC△中，90ABC，4AB，3BC，点D在线段AC上，若45BDC，则BD___________，cosABD___________．【答案】1225，7210【解析】如图，在ABD△中，由正弦定理有：sinsinABBDADBBAC，而3π4,4ABADB,225AC=AB+BC=，34sin,cos55BCABBACBACACAC，所以1225BD.ππ72coscos()coscossinsin4410ABDBDCBACBACBAC.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD△中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC．（1）求A；（2）若22abc，求sinC．【答案】（1）60A；（2）62sin4C.【解析】（1）由已知得222sinsinsinsinsinBCABC，故由正弦定理得222bcabc．由余弦定理得2221cos22bcaAbc．因为0180A，所以60A．（2）由（1）知120BC，由题设及正弦定理得2sinsin1202sinACC，即631cossin2sin222CCC，可得2cos602C．由于0120C，所以2sin602C，故sinsin6060CCsin60cos60cos60sin60CC624．【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.12．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinsin2ACabA．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．【答案】（1）B=60°；（2）33(,)82.【解析】（1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin2ACABA．因为sinA0，所以sinsin2ACB．由180ABC，可得sincos22ACB，故cos2sincos222BBB．因为cos02B，故1sin22B，因此B=60°．（2）由题设及（1）知△ABC的面积34ABCSa△．由正弦定理得sin120sin31sinsin2tan2CcAaCCC．由于△ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°，由（1）知A+C=120°，所以30°C90°，故122a，从而3382ABCS△．因此，△ABC面积的取值范围是33,82．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查VABC是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.13．【20