专题09不等式推理与证明2019年高考真题和模拟题分项汇编数学理解析

专题09不等式、推理与证明1．【2019年高考全国II卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L点的轨道运行．2L点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，2L点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：121223()()MMMRrRrrR.设rR，由于的值很小，因此在近似计算中34532333(1)，则r的近似值为A．21MRMB．212MRMC．2313MRMD．2313MRM【答案】D【解析】由rR，得rR因为121223()()MMMRrRrrR，所以12122222(1)(1)MMMRRR，即543232221133[(1)]3(1)(1)MM，解得3213MM，所以321.3MrRRM【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．2．【2019年高考全国II卷理数】若ab，则A．ln(a−b)0B．3a3bC．a3−b30D．│a││b│【答案】C【解析】取2,1ab，满足ab，ln()0ab，知A错，排除A；因为9333ab，知B错，排除B；取1,2ab，满足ab，12ab，知D错，排除D，因为幂函数3yx是增函数，ab，所以33ab，故选C．【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．3．【2019年高考北京卷理数】若x，y满足|1|xy，且y≥−1，则3x+y的最大值为A．−7B．1C．5D．7【答案】C【解析】由题意1,11yyxy作出可行域如图阴影部分所示.设3,3zxyyzx,当直线0:3lyzx经过点2,1时,z取最大值5.故选C．【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础知识､基本技能的考查.4．【2019年高考北京卷理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=52lg21EE，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10–10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg2EmmE,令211.45,26.7mm,10.111212222lg(1.4526.7)10.1,1055EEmmEE.故选：A．【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.5．【2019年高考天津卷理数】设变量,xy满足约束条件20,20,1,1,xyxyxy……，则目标函数4zxy的最大值为A．2B．3C．5D．6【答案】D【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.目标函数的几何意义是直线4yxz在y轴上的截距，故目标函数在点A处取得最大值.由20,1xyx，得(1,1)A，所以max4(1)15z.故选C.【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．6．【2019年高考天津卷理数】设xR，则“250xx”是“|1|1x”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】化简不等式，可知05x推不出11x，由11x能推出05x，故“250xx”是“|1|1x”的必要不充分条件，故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.7．【2019年高考浙江卷】若实数,xy满足约束条件3403400xyxyxy，则32zxy的最大值是A．1B．1C．10D．12【答案】C【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。因为32zxy，所以3122yxz.平移直线3122yxz可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.联立两直线方程可得340340xyxy，解得22xy.即点A坐标为(2,2)A，所以max322210z.故选C.【名师点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.8．【2019年高考浙江卷】若0,0ab，则“4ab”是“4ab”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0,0ab时，2abab当且仅当ab时取等号，则当4ab时，有24abab，解得4ab，充分性成立；当=1,=4ab时，满足4ab，但此时=54a+b，必要性不成立，综上所述，“4ab”是“4ab”的充分不必要条件.【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,ab的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.9．【2019年高考全国II卷理数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）【答案】26，21【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826个面．如图，设该半正多面体的棱长为x，则ABBEx，延长BC与FE交于点G，延长BC交正方体棱于H，由半正多面体对称性可知，BGE△为等腰直角三角形，22,2(21)122BGGECHxGHxxx，12121x，即该半正多面体棱长为21．【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．10．【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．【答案】①130；②15.【解析】（1）10x,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付608010130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y元,120y元时,李明得到的金额为80%y,符合要求.120y元时,有80%70%yxy恒成立,即87,8yyxyx,即min158yx元.所以x的最大值为15.【名师点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.11．【2019年高考天津卷理数】设0,0,25xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为__________．【答案】43【解析】方法一：(1)(21)2212662xyxyyxxyxyxyxyxyxy.因为0,0,25xyxy，所以2522xyxy，即5252,028xyxy，当且仅当522xy时取等号成立.又因为6622243xyxyxyxy，当且仅当62xyxy，即=3xy时取等号，结合258xy可知，xy可以取到3，故(1)(21)xyxy的最小值为43.方法二：0,0,25,xyxy0,xy(1)(21)2212662212=43xyxyyxxyxyxyxyxyxy.当且仅当3xy时等号成立，故(1)(21)xyxy的最小值为43.【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.12．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学（理)试题）已知集合(1)(4)0Axxx，2log2Bxx，则ABA．2,4B．1,C．0,4D．2,【答案】C【解析】(1)(4)01,4Axxx，2log20,4Bxx，故0,4AB，故选C.【名师点睛】本题考查集合的交集，属于基础题，解题时注意对数不等式的等价转化.13．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月)数学试题】若x，y满足约束条件22201yxxyy，则zxy的最大值为A．35-B．12C．5D．6【答案】C【解析】变量x，y满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示：目标函数zxy是斜率等于1、纵截距为z的直线，当直线经过可行域的A点时，纵截距z取得最小值，则此时目标函数z取得最大值，由1220yxy可得(4,1)A，目标函数zxy的最大值为：5故选：C．【名师点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．14．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题】已知实数x，y满足约束条件202201xyxyx，则目标函数21yzx的最小值为A．23B．54C．43D．12【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数21yzx的几何意义为动点,Mxy到定点1,2D的斜率，当M位于11,2A时，此时DA的斜率最小，此时min1252114z．故选B．【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．15．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试数学试题】设不等式组2000xxyxy，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点,Pxy，则P点的坐标满足不等式222xy的概率为A．π8B．π4C．12πD．12π【答案】A【解析】画出2000xxyxy所表示的区域Ω如图中阴影部分所示，易知2,2,2,2AB，所以AOB△的面积为4，满足不等式222xy的点，在区域Ω内是一个以原点为圆心，2为半径的14圆面，其面积为2，由几何概型的公式可得其概率为2==48P，故选A.【名师点睛】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.16．【山西省201