备战新课标高考理科数学2020124小题提速练三解析

提高小题的解题速度“12＋4”小题提速练三为解答后面的大题留足时间一、选择题1．已知复数z＝1＋2i2＋i(其中i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D因为z＝1＋2i2＋i＝1＋2i2－i2＋i2－i＝45＋35i，故z＝45－35i，z在复平面内对应的点为45，－35，故在第四象限．2．已知全集U＝{x||x|＜2}，集合P＝{x|log2x＜1}，则∁UP＝()A．(－2,0]B．(－2,1]C．(0,1)D．[1,2)解析：选A因为U＝{x||x|＜2}＝{x|－2＜x＜2}，P＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，所以∁UP＝(－2,0]．3．(2019·广州综合测试)某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，其产量之比为2∶3∶4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n＝()A．96B．72C．48D．36解析：选B由题意得39n－29n＝8，所以n＝72.故选B.4．若log2a＝0.3,0.3b＝2，c＝0.32，则实数a，b，c之间的大小关系为()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞a＞c解析：选B根据题意有a＝20.3，b＝log0.32，c＝0.32，又20.3＞20＝1，log0.32＜log0.31＝0,0.32＝0.09，所以a＞c＞b.5．(2019·成都二模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A．13B．14C．15D．17解析：选C程序在运行过程中a的值变化如下：a＝1；a＝2×1＋1＝3，不满足a＞10；a＝2×3＋1＝7，不满足a＞10；a＝2×7＋1＝15，满足a＞10.于是输出的a＝15，故选C.6．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为()A.112B.12C.13D.16解析：选C依题意，小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分配方法是1个学校2人，另外2个学校各1人，共有C24A33＝36(种)分配方法，小明恰好分配到甲村小学，有C23A22＋C13A22＝12(种)分配方法，根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为1236＝13.7．袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为()A.16B.13C.12D.15解析：选B设“第二次摸到红球”为事件A，“第一次摸到红球”为事件B，∵P(A)＝2×1＋2×24×3＝12，P(AB)＝24×3＝16，∴P(B|A)＝PABPA＝13，∴在第二次摸到红球的条件下，第一次摸到红球的概率为13，故选B.8．一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧面积为()A．123B．24C．12＋3D．24＋23解析：选B根据三视图可知该三棱柱的直观图如图所示，所以该三棱柱的侧面积S＝[232＋12＋2]×4＝(2×2＋2)×4＝24.9．已知函数f(x)＝e－x，x≤0，－x2－2x＋1，x＞0，若f(a－1)≥f(－a2＋1)，则实数a的取值范围是()A．[－2,1]B．[－1,2]C．(－∞，－2]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选A因为f(x)＝e－x，x≤0，－x2－2x＋1，x＞0在区间(－∞，＋∞)上单调递减，所以不等式f(a－1)≥f(－a2＋1)同解于不等式a－1≤－a2＋1，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，故选A.10.已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，点A(0，3)，Bπ6，0，则函数f(x)图象的一条对称轴为()A．x＝－π3B．x＝－π12C．x＝π18D．x＝π24解析：选D∵函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的图象过点A(0，3)，∴2cosφ＝3，即cosφ＝32，∴φ＝2kπ±π6(k∈Z)．∵|φ|＜π2，∴φ＝±π6，由函数f(x)的图象知φω＜0，又ω＞0，∴φ＜0，∴φ＝－π6，∴f(x)＝2cosωx－π6.∵f(x)＝2cosωx－π6的图象过点Bπ6，0，∴cosω－1π6＝0，∴ω－1π6＝mπ＋π2(m∈Z)，∴ω＝6m＋4(m∈Z)．∵ω＞0，πω＞π6，∴0＜ω＜6，∴ω＝4，∴f(x)＝2cos4x－π6.∵x＝π24时，f(x)＝2，∴x＝π24为函数f(x)图象的一条对称轴．故选D.11．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，若AF，BF的中点在y轴上的射影分别为M，N，且|MN|＝43，则抛物线C的准线方程为()A．x＝－1B．x＝－2C．x＝－32D．x＝－3解析：选D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线C的焦点为p2，0，知AF，BF的中点的纵坐标分别为y12，y22，则|MN|＝y22－y12＝12|y2－y1|＝43，所以|y2－y1|＝83.由题意知直线AB的方程为y＝－3x－p2，与抛物线方程y2＝2px联立消去x，整理得3y2＋2py－3p2＝0，所以y1＋y2＝－23p，y1y2＝－p2，于是由|y2－y1|＝83，得(y2＋y1)2－4y1y2＝192，所以－23p2＋4p2＝192，解得p＝6，p2＝3，所以抛物线C的准线方程为x＝－3，故选D.12．已知函数f(x)＝1＋lnx，x≥1，12x＋12，x＜1，若x1≠x2，且f(x1)＋f(x2)＝2，则x1＋x2的取值范围是()A．[2，＋∞)B．[e－1，＋∞)C．[3－2ln2，＋∞)D．[3－2ln3，＋∞)解析：选C因为x1≠x2，所以不妨设x1＜x2.当x≥1时，f(x)＝1＋lnx≥1，当x＜1时，f(x)＝12x＋12＜1，根据f(x1)＋f(x2)＝2知，必有x1＜1，x2＞1，所以f(x1)＝12x1＋12，f(x2)＝1＋lnx2，所以12x1＋12＋1＋lnx2＝2，即lnx2＋12x1－12＝0.令x1＋x2＝t，则x1＝t－x2，所以lnx2＋12(t－x2)－12＝0，即lnx2－12x2＋12t－12＝0，由题意知，方程lnx－12x＋12t－12＝0在(1，＋∞)上有解．令g(x)＝lnx－12x＋12t－12(x＞1)，此函数有零点，g′(x)＝1x－12＝2－x2x，易知当1＜x＜2时，函数g(x)单调递增，当x＞2时，函数g(x)单调递减，所以g(x)max＝g(2)＝ln2＋12t－32≥0，解得t≥3－2ln2，即x1＋x2的取值范围为[3－2ln2，＋∞)．二、填空题13．已知a＞0，b＞0，若a,2，b依次成等比数列，则a＋4b的最小值为________．解析：由a,2，b依次成等比数列，得ab＝4，所以a＋4b≥2a·4b＝8，当且仅当a＝4b，即a＝4，b＝1时等号成立，所以a＋4b的最小值为8.答案：814．若函数f(x)＝ln(ex＋1)＋ax为偶函数，则a＝________.解析：∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)恒成立，即ln(ex＋1)＋ax＝ln(e－x＋1)－ax恒成立，∴2ax＝lne－x＋1ex＋1＝ln1ex＝－x，∴a＝－12.答案：－1215．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＋Sn＝n2－19n2(n∈N*)，若a2＜－4，则Sn取最小值时n＝________.解析：∵Sn＋1＋Sn＝n2－19n2，∴a2＋2a1＝－9，又n≥2时，Sn＋Sn－1＝n－12－19n－12，∴an＋1＋an＝n－10，∴a4＋a3＝－7，a6＋a5＝－5，a8＋a7＝－3，a10＋a9＝－1，a12＋a11＝1，∴n≥11且n为奇数时，an＋1＋an＞0，且S10＋a1＝－25＜0，S2＋a1＞S4＋a1＞…＞S10＋a1，S10＋a1＜S12＋a1＜S14＋a1＜…，即S2＞S4＞…＞S10，S10＜S12＜S14＜….a3＋a2＝－8，a5＋a4＝－6，a7＋a6＝－4，a9＋a8＝－2，a11＋a10＝0，a13＋a12＝2，∴n≥12且n为偶数时，an＋1＋an＞0，S3－a1＞S5－a1＞…＞S9－a1＝S11－a1，S11－a1＜S13－a1＜S15－a1＜…，即S3＞S5＞…＞S9＝S11，S11＜S13＜S15＜…，又S11＋S10＝－45,2S10＋2a1＝－50，∴S11－S10＝2a1＋5，∵a2＜－4，a2＋2a1＝－9，∴2a1＞－5，∴S11－S10＞0，∴S11＞S10，∴Sn取得最小值时n＝10.答案：1016.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋ccosA＝bsinB，A＝π6，如图，若点D是△ABC外一点，DC＝2，DA＝3，则当四边形ABCD面积最大时，sinD＝________.解析：由acosC＋ccosA＝bsinB及余弦定理得a×a2＋b2－c22ab＋c×b2＋c2－a22bc＝bsinB，即b＝bsinB⇒sinB＝1⇒B＝π2，又∠CAB＝π6，∴∠ACB＝π3.BC＝a，则AB＝3a，AC＝2a，S△ABC＝12×a×3a＝32a2.在△ACD中，cosD＝AD2＋CD2－AC22AD·CD＝13－4a212，∴a2＝13－12cosD4.又S△ACD＝12AD·CDsinD＝3sinD，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝32a2＋3sinD＝32×13－12cosD4＋3sinD＝3sinD－332cosD＋1338＝37227sinD－37cosD＋1338＝372sin(D－θ)＋1338其中θ满足tanθ＝32，∴当D－θ＝π2，即D＝π2＋θ时，S四边形ABCD最大，此时sinD＝sinπ2＋θ＝cosθ＝27＝277.答案：277