专题14不等式选讲2019年高考真题和模拟题分项汇编数学文解析

专题14不等式选讲1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）222111abcabc；（2）333()()()24abbcca．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2ababbcbccaac，又1abc，故有222111abbccaabcabbccaabcabc．所以222111abcabc．（2）因为,,abc为正数且1abc，故有3333333()()()3()()()abbccaabbcac=3(+)(+)(+)abbcac3(2)(2)(2)abbcac=24．所以333()()()24abbcca．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().fxxaxxxa（1）当1a时，求不等式()0fx的解集；（2）若(,1)x时，()0fx，求a的取值范围．【答案】（1）(,1)；（2）[1,)【解析】（1）当a=1时，()=|1|+|2|(1)fxxxxx．当1x时，2()2(1)0fxx；当1x时，()0fx．所以，不等式()0fx的解集为(,1)．（2）因为()=0fa，所以1a．当1a，(,1)x时，()=()+(2)()=2()(1)0fxaxxxxaaxx．所以，a的取值范围是[1,)．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设,,xyzR，且1xyz．（1）求222(1)(1)(1)xyz的最小值；（2）若2221(2)(1)()3xyza成立，证明：3a或1a．【答案】（1）43；（2）见详解．【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]xyz222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]xyzxyyzzx2223(1)(1)(1)xyz，故由已知得2224(1)(1)(1)3xyz，当且仅当x=53，y=–13，13z时等号成立．所以222(1)(1)(1)xyz的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]xyza222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]xyzaxyyzazax2223(2)(1)()xyza，故由已知2222(2)(2)(1)()3axyza，当且仅当43ax，13ay，223az时等号成立．因此222(2)(1)()xyza的最小值为2(2)3a．由题设知2(2)133a，解得3a或1a．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型．4．【2019年高考江苏卷数学】设xR，解不等式||+|21|2xx．【答案】1{|1}3xxx或．【解析】当x0时，原不等式可化为122xx，解得x13；当0≤x≤12时，原不等式可化为x+1–2x2，即x–1，无解；当x12时，原不等式可化为x+2x–12，解得x1．综上，原不等式的解集为1{|1}3xxx或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．5．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】设函数()333()442fxxxgxxax，．（1）解不等式()10fx；（2）若对于任意1xR，都存在2xR，使得12()()fxgx成立，试求实数a的取值范围．【答案】（1）4x或1x；（2）40a【解析】（1）不等式等价于34610xx或13210xx或36410xx解得4x或1x．（2）对任意1xR，都存在2xR，使得12()=()fxgx成立，即()gx的值域包含()fx的值域．46,3()3332,1364,1xxfxxxxxx，由图可得1x时，min()2fx，所以()fx的值域为[2,)．()442(4)(42)2gxxaxxaxa，当且仅当4xa与42x异号时取等号，所以()gx的值域为[2,)a，由题[2,)[2,)a，所以22a，解得40a．【名师点睛】本题考查绝对值函数和用绝对值不等式求绝对值函数中参数的范围，是常见考题．6．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】已知函数()2fxax，不等式()4fx的解集为|26xx．（1）求实数a的值；（2）设()()(3)gxfxfx，若存在xR，使()2gxtx成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）1；（2）1(,1][,)2t．【解析】（1）由42ax得－4≤2ax≤4，即－2≤ax≤6，当a0时，26xaa，所以2266aa，解得a＝1；当a0时，62xaa，所以6226aa，无解．所以实数a的值为1．（2）由已知()()(3)gxfxfx＝|x＋1|＋|x－2|＝211312212xxxxx，不等式g（x）－tx≤2转化成g（x）≤tx＋2，由题意知函数()gx的图象与直线y＝tx＋2相交，作出对应图象，由图得，当t0时，t≤kAM；当t0时，t≥kBM，又因为kAM＝－1，12BMk，所以t≤－1或12t，即t∈（－∞，－1]∪[12，＋∞）．【名师点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及分类思想、方程思想，还考查了思想结合思想及转化能力，考查了作图能力及计算能力，属于中档题．7．【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学】设函数()|1|fxx．（1）若+22fxx（），求实数x的取值范围；（2）设=+1gxfxfaxa（）（）（）（），若gx（）的最小值为12，求a的值．【答案】（1）13，；（2）2a．【解析】（1）22fxx，即122xx10122xxx或10122xxx13x，∴实数x的取值范围是13，．（2）∵1a，∴11a，∴121111112axxgxaxxaaxxa，，，，，，，易知函数gx在1a，单调递减，在1a，单调递增，∴min111gxgaa．∴1112a，解得2a．【名师点睛】本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等．8．【河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三第六次质量考评理科数学】已知函数21fxxagxx（），（）．（1）若2fxgx（）（）的最小值为1，求实数a的值；（2）若关于x的不等式1fxgx（）（）的解集包含112，，求实数a的取值范围．【答案】（1）8a或4．（2）312，．【解析】（1）当1b时，1|||1||1||1|2222aaafxgxxxxx，因为12fxgx的最小值为3，所以132a，解得8a或4．（2）当1b时，1fxgx即211xax，当112x，时，211xax2112xaxxax，即3axa，因为不等式1fxgx的解集包含112，，所以1a且132a，即312a，故实数a的取值范围是312，．【名师点睛】本题考查不等式的解法及不等式的性质，考查转化思想以及计算能力．9．【河南省顶级名校2019届高三质量测评数学】已知函数121fxxx．（1）解不等式2fxx；（2）若3231gxxmx，对12xxRR，，使12fxgx成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）|01xx；（2）1544，．【解析】（1）不等式等价于132xxx或11222xxx或1232xxx，解得x或102x或112x，所以不等式2fxx（）的解集为|01xx．（2）由311()212132xxfxxxxx，，，知，当12x时，min13()()22fxf，323121gxxmxm（）（）（），当且仅当(32)(31)0xmx时取等号，所以3212m，解得1544m．故实数m的取值范围是1544，．【名师点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．10．【吉林省吉大附中2018届高三第四次模拟考试数学（理）试卷】已知函数()fxxa．（1）当2a时，解不等式()1621fxx；（2）若关于x的不等式()1fx的解集为[0,2]，求证：()(2)2fxfx．【答案】（1）17{|3xx或5}x（2）见解析【解析】（1）当2a时，不等式为22116xx，当2x时，原不等式可化为22116xx，解得173x，当122x时，原等式可化为22116xx，解得13x，不满足，舍去；当12x时，原不等式可化为22116xx，解得5x；不等式的解集为17{|3xx或5}x．（2）()1fx即1xa，解得11axa，而()1fx解集是02，，所以1012aa，解得1a，从而()1fxx．于是只需证明()(2)2fxfx，即证112xx，因为111xxx1112xxx所以112xx，证毕．【名师点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和证明，主要注意先确定参数的值，进而对定义域进行分类讨论，确定解所在的区间，属于中档题．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】设函数()2fxxxa．（1）当1a时，求不等式()2fx的解集；（2）当xyR，时，2()()2()fyfxfy，求a的取值范围．【答案】（1）3{|}2xx；（2）31，【解析】（1）当a=1时，31()121232xfxxxx，，，，可得2fx的解集为3{|}2xx；（2）当xyR，时，mamin2()()2()()()2()()2xfyfxfyfxfyfxfx，因为222xxaxxaa，所以222aa．所以21a，所以31a．所以a的取值范围是[–3，–1]．【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用．12．【河北省衡水中学20