专题14坐标系与参数方程2019年高考真题和模拟题分项汇编数学理解析

专题14坐标系与参数方程1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l的参数方程为13,24xtyt（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是A．15B．25C．45D．65【答案】D【解析】由题意，可将直线l化为普通方程：1234xy，即41320xy，即4320xy，所以点（1，0）到直线l的距离22|402|6543d，故选D．【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【答案】（1）221(1)4yxx；l的直角坐标方程为23110xy；（2）7．【解析】（1）因为221111tt，且22222222141211yttxtt，所以C的直角坐标方程为221(1)4yxx．l的直角坐标方程为23110xy．（2）由（1）可设C的参数方程为cos,2sinxy（为参数，ππ）．2221141txttyt，2cos3sin110C上的点到l的距离为π4cos11|2cos23sin11|377．当2π3时，π4cos113取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7．【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O为极点，点000(,)(0)M在曲线:4sinC上，直线l过点(4,0)A且与OM垂直，垂足为P．（1）当0=3时，求0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）023，l的极坐标方程为cos23；（2）4cos,,42．【解析】（1）因为00,M在C上，当03时，04sin233．由已知得||||cos23OPOA．设(,)Q为l上除P的任意一点．在RtOPQ△中，cos||23OP，经检验，点(2,)3P在曲线cos23上．所以，l的极坐标方程为cos23．（2）设(,)P，在RtOAP△中，||||cos4cos,OPOA即4cos．因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是,42．所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos,,42．【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox中，(2,0)A，(2,)4B，(2,)4C，(2,)D，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2，(1,)，曲线1M是弧AB，曲线2M是弧BC，曲线3M是弧CD．（1）分别写出1M，2M，3M的极坐标方程；（2）曲线M由1M，2M，3M构成，若点P在M上，且||3OP，求P的极坐标．【答案】（1）1M的极坐标方程为π2cos04，2M的极坐标方程为π3π2sin44，3M的极坐标方程为3π2cosπ4．（2）π3,6或π3,3或2π3,3或5π3,6．【解析】（1）由题设可得，弧,,ABBCCD所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos．所以1M的极坐标方程为π2cos04，2M的极坐标方程为π3π2sin44，3M的极坐标方程为3π2cosπ4．（2）设(,)P，由题设及（1）知若π04，则2cos3，解得π6；若π3π44，则2sin3，解得π3或2π3；若3ππ4，则2cos3，解得5π6．综上，P的极坐标为π3,6或π3,3或2π3,3或5π3,6．【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,2,42AB，直线l的方程为sin34．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．【答案】（1）5；（2）2．【解析】（1）设极点为O．在△OAB中，A（3，4），B（2，2），由余弦定理，得AB=223(2)232cos()524．（2）因为直线l的方程为sin()34，则直线l过点(32,)2，倾斜角为34．又(2,)2B，所以点B到直线l的距离为3(322)sin()242．【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．6．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线1C的参数方程为510cos()10sinxy为参数，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4cos．（1）求曲线1C与曲线2C两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()224，直线l与y轴的交点为M，与曲线1C相交于,AB两点，求MAMB的值．【答案】（1）5cos2；（2）92【解析】（1）曲线1C的普通方程为：22(5)10xy，曲线2C的普通方程为：224xyx，即22(2)4xy，由两圆心的距离3(102,102)d，所以两圆相交，所以两方程相减可得交线为6215x，即52x．所以直线的极坐标方程为5cos2．（2）直线l的直角坐标方程：4xy，则与y轴的交点为(0,4)M，直线l的参数方程为22242xtyt，带入曲线1C22(5)10xy得292310tt．设,AB两点的参数为1t，2t，所以1292tt，1231tt，所以1t，2t同号．所以121292MAMBtttt【名师点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题．7．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cossinxy（α为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为322,4，直线l的极坐标方程为sin2204．（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值．【答案】（1）40xy，2213xy；（2）722．【解析】（1）因为直线l的极坐标方程为πsin2204，即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0．将曲线C的参数方程3cossinxy，消去参数a，得曲线C的普通方程为2213xy．（2）设N（3cos，sinα），α∈[0，2π）．点M的极坐标（22，3π4），化为直角坐标为（－2，2）．则31cos1,sin122P．所以点P到直线l的距离31πcossin6sin622372222d，所以当5π6时，点M到直线l的距离的最大值为722．【名师点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．8．【河南省周口市2018–2019学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为24,2232xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为223sin12（）．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于AB，两点，且设定点21P（，），求PBPAPAPB的值．【答案】（1）l普通方程为10xy，C直角坐标方程为22143xy；（2）867．【解析】（1）由直线l的参数方程消去t，得普通方程为10xy．223sin12（）等价于2223sin12，将222sinxyy，代入上式，得曲线C的直角坐标方程为222312xyy（），即22143xy．（2）点21P（，）在直线10xy上，所以直线l的参数方程可以写为222212xttyt，（为参数），将上式代入22143xy，得2720280tt．设AB，对应的参数分别为12tt，，则1212202877tttt，，所以22||PAPBPBPAPAPBPAPB22PAPBPAPBPAPB（）21212122tttttt（）2121212||2tttttt2202828677877（）．【名师点睛】本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义．9．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为15（，），点M的极坐标为π42（，）．若直线l过点P，且倾斜角为π3，圆C以M为圆心、4为半径．（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（2）试判定直线l和圆C的位置关系．【答案】（1）112352xtyt（t为参数），8sin；（2）直线l与圆C相离．【解析】（1）直线l的参数方程1π11cos23π35sin532xtxtytyt（t为参数），M点的直角坐标为（0，4），圆C的半径为4，∴圆C的方程为22416xy（），将cossinxy代入，得圆C的极坐标方程为222cos(sin4)16，即8sin；（2）直线l的普通方程为3530xy，圆心M到l的距离为45393422d，∴直线l与圆C相离．【名师点睛】主要是考查了极坐标与直角坐标的互化，以及运用，属于基础题．10．【全国I卷2019届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2222xmtyt（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为2222cos3sin48，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于AB，两点，求FAFB的值；（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值．【答案】（1）43；（2）323．【解析】（1）将cossinxy代入ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，得x2＋3y2＝48，即2214816xy，因