备战新课标高考理科数学202031保分大题强化练一解析

保住基本分·才能得高分“3＋1”保分大题强化练一前3个大题和1个选考题不容有失1．已知函数f(x)＝sinx3＋cosx3，x∈[0，π]，设f(x)的最大值为M，记f(x)取得最大值时x的值为θ.(1)求M和θ；(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝22，b＝210，B＝θ，求c的值．解：(1)由已知，得f(x)＝sinx3＋cosx3＝2sinx3＋π4.因为0≤x≤π，所以π4≤x3＋π4≤7π12.所以当x3＋π4＝π2，即x＝3π4时，f(x)取得最大值2，故M＝2，θ＝3π4.(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得c2－2×22×－22×c＋(22)2＝(210)2，即c2＋4c－32＝0，解得c＝4或c＝－8(舍去)．故c＝4.2.如图，四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，PD⊥AB，O是AD的中点，BO＝CO.(1)求证：AB⊥平面PAD；(2)若AD＝2AB＝4，PA＝PD，点M在侧棱PD上，且PD＝3MD，二面角P­BC­D的大小为45°，求直线BP与平面MAC所成角的正弦值．解：(1)证明：在平行四边形ABCD中，设N是BC的中点，连接ON，因为O是AD的中点，所以AB∥ON.又BO＝CO，所以ON⊥BC，所以AB⊥BC.又在平行四边形ABCD中，BC∥AD，所以AB⊥AD.又AB⊥PD，且PD∩AD＝D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.(2)由(1)知AB⊥平面PAD，又AB⊂平面ABCD，于是平面PAD⊥平面ABCD，连接PO，PN，由PA＝PD，可得PO⊥AD，则PO⊥BC，又ON⊥BC，PO∩NO＝O，所以BC⊥平面PNO，所以PN⊥BC，故二面角P­BC­D的平面角为∠PNO，则∠PNO＝45°.由此得PO＝AB＝2.以O为坐标原点，ON，OD，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－2,0)，B(2，－2,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，由PD＝3MD可得M0，43，23，所以AC→＝(2,4,0)，AM→＝0，103，23，BP→＝(－2,2,2)．设平面MAC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AC→＝0，n·AM→＝0即2x＋4y＝0，10y＋2z＝0，令y＝1，得x＝－2，z＝－5，所以n＝(－2,1，－5)为平面MAC的一个法向量．设直线BP与平面MAC所成的角为θ，则sinθ＝|BP→·n||BP→|·|n|＝|4＋2－10|23·30＝1015，故直线BP与平面MAC所成角的正弦值为1015.3．2019年夏季毕业的某大学生准备到贵州非私营单位求职，为了了解工资待遇情况，他在贵州省统计局的官网上，查询到2008年至2017年非私营单位在岗职工的年平均工资近似值(单位：万元)，如下表：年份2008200920102011201220132014201520162017序号x12345678910年平均工资y/万元2.52.93.23.84.35.05.56.37.07.5(1)请根据上表的数据，利用线性回归模型进行拟合，求y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^(a^，b^的计算结果根据四舍五入精确到小数点后第二位)；(2)如果该大学生对年平均工资的期望值为8.5万元，请利用(1)的结论，预测2019年非私营单位在岗职工的年平均工资(单位：万元．计算结果根据四舍五入精确到小数点后第二位)，并判断2019年平均工资能否达到他的期望．参考数据：i＝110xiyi＝311.5，i＝110x2i＝385，i＝110(xi－x)(yi－y)＝47.5.i12345678910(xi－x)220.2512.256.252.250.250.252.256.2512.2520.25附：对于一组具有线性相关的数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线y^＝b^x＋a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^＝i＝1nxiyi－nx·yi＝1nx2i－nx2＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2，a^＝y－b^x.解：(1)由已知，得x＝5.5，y＝4.8.b^＝i＝110xi－xyi－yi＝110x2i－10·x2＝47.5385－10×5.52≈0.58，所以a^＝y－b^x＝4.8－0.58×5.5＝1.61，故y关于x的线性回归方程为y^＝0.58x＋1.61.(2)由(1)知y^＝0.58x＋1.61，当x＝12时，y^＝0.58×12＋1.61＝8.57＞8.5.所以，预测2019年非私营单位在岗职工的年平均工资为8.57万元，达到了他的期望．选考系列(请在下面的两题中任选一题作答)4．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2＋3cosα，y＝3sinα(α为参数)，直线l的参数方程为x＝tcosβ，y＝tsinβ(t为参数，0≤βπ)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)已知直线l与曲线C相交于A，B两点，且|OA|－|OB|＝2，求β.解：(1)由曲线C的参数方程可得其普通方程为(x－2)2＋y2＝3，即x2＋y2－4x＋1＝0，所以曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＋1＝0.(2)由直线l的参数方程可得直线l的极坐标方程为θ＝β(ρ∈R)．因为直线l与曲线C相交于A，B两点，所以设A(ρ1，β)，B(ρ2，β)(ρ1ρ2)，联立得ρ2－4ρcosθ＋1＝0，θ＝β，可得ρ2－4ρcosβ＋1＝0，因为Δ＝16cos2β－40，所以cos2β14，所以|OA|－|OB|＝ρ1－ρ2＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝16cos2β－4＝2，解得cosβ＝±22，所以β＝π4或3π4.5．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x－1|.(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥4；(2)当x≠0，x∈R时，证明：f(－x)＋f1x≥4.解：(1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥4等价于|2x－1|＋|2x＋1|≥4，等价于x－12，－4x≥4或－12≤x≤12，2≥4或x12，4x≥4，解得x≤－1或x≥1，所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)证明：当x≠0，x∈R时，f(－x)＋f1x＝|－2x－1|＋2x－1，因为|－2x－1|＋2x－1≥2x＋2x＝2|x|＋2|x|≥4，当且仅当2x＋12x－1≥0，2|x|＝2|x|，即x＝±1时等号成立，所以f(－x)＋f1x≥4.