备战新课标高考理科数学202031保分大题强化练七解析

保住基本分·才能得高分“3＋1”保分大题强化练七前3个大题和1个选考题不容有失1．数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－n.(1)求证数列{an＋1}是等比数列，并求an；(2)若数列{bn}为等差数列，且b3＝a2，b7＝a3，求数列{anbn}的前n项和．解：(1)证明：当n＝1时，S1＝2a1－1，所以a1＝1.因为Sn＝2an－n，①所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－(n－1)②①－②得an＝2an－2an－1－1，所以an＝2an－1＋1，所以an＋1an－1＋1＝2an－1＋1＋1an－1＋1＝2an－1＋2an－1＋1＝2.所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以an＋1＝2·2n－1，所以an＝2n－1.(2)由(1)知，a2＝3，a3＝7，所以b3＝a2＝3，b7＝a3＝7.设{bn}的公差为d，则b7＝b3＋(7－3)·d，所以d＝1.所以bn＝b3＋(n－3)·d＝n.所以anbn＝n(2n－1)＝n·2n－n.设数列{n·2n}的前n项和为Kn，数列{n}的前n项和为Tn，则Kn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，③2Kn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，④③－④得，－Kn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝21－2n1－2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，所以Kn＝(n－1)·2n＋1＋2.又Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12，所以Kn－Tn＝(n－1)·2n＋1－nn＋12＋2，所以{anbn}的前n项和为(n－1)·2n＋1－nn＋12＋2.2．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B1是矩形，AB＝A1B，N是B1C的中点，M是棱AA1上的点，且AA1⊥MC.(1)证明：MN∥平面ABC；(2)若AB⊥A1B，求二面角A­CM­N的余弦值．解：(1)证明：在三棱柱ABC­A1B1C1中，连接BM.因为侧面BCC1B1是矩形，所以BC⊥BB1.因为AA1∥BB1，所以AA1⊥BC.又AA1⊥MC，BC∩MC＝C，所以AA1⊥平面BCM，所以AA1⊥MB，又AB＝A1B，所以M是AA1的中点．取BC的中点P，连接NP，AP，因为N是B1C的中点，所以NP∥BB1，且NP＝12BB1，所以NP∥MA，且NP＝MA，所以四边形AMNP是平行四边形，所以MN∥AP.又MN⊄平面ABC，AP⊂平面ABC，所以MN∥平面ABC.(2)因为AB⊥A1B，所以△ABA1是等腰直角三角形．设AB＝2a，则AA1＝2a，BM＝AM＝a.又在Rt△ACM中，AC＝2a，所以MC＝a.在△BCM中，CM2＋BM2＝2a2＝BC2，所以MC⊥BM，所以MA1，MB，MC两两垂直，以M为坐标原点，MA1→，MB→，MC→的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则M(0,0,0)，C(0,0，a)，B1(2a，a,0)，Na，a2，a2，所以MC→＝(0,0，a)，MN→＝a，a2，a2.设平面CMN的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·MC→＝0，n1·MN→＝0，即az＝0，ax＋a2y＋a2z＝0，取x＝1，得y＝－2.故平面CMN的一个法向量为n1＝(1，－2,0)．因为平面ACM的一个法向量为n2＝(0,1,0)，所以cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝－255.因为二面角A­CM­N为钝角，所以二面角A­CM­N的余弦值为－255.3．某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15岁至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行数据统计，具体情况如下表：组别年龄A组统计结果B组统计结果经常使用单车偶尔使用单车经常使用单车偶尔使用单车[15,25)27人13人40人20人[25,35)23人17人35人25人[35,45]20人20人35人25人(1)先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去．①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数．②为听取对发展共享单车的建议，调查小组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会．会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份(其余人员仅赠送骑行优惠券)．已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望．(2)从统计数据可直观得出“经常使用共享单车与年龄达到m岁有关”的结论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取25还是35？请通过比较K2的观测值的大小加以说明．参考公式：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)①从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的人数为100×60300＝20，再将这20人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数为20×45100＝9.②A组这4人中得到礼品的人数X的可能取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝C35C39＝542，P(X＝1)＝C14C25C39＝1021，P(X＝2)＝C24C15C39＝514，P(X＝3)＝C34C39＝121.故X的分布列为X0123P5421021514121∴E(X)＝0×542＋1×1021＋2×514＋3×121＝43.(2)按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表：经常使用单车偶尔使用单车总计未达到35岁12575200达到35岁5545100总计180120300m＝35时，可求得K2的观测值k1＝300×125×45－75×552200×100×180×120＝300×15002200×100×180×120＝2516.按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表：经常使用单车偶尔使用单车总计未达到25岁6733100达到25岁11387200总计180120300m＝25时，可求得K2的观测值k2＝300×67×87－33×1132100×200×180×120＝300×21002100×200×180×120＝4916，∴k2k1.欲使犯错误的概率尽可能小，需取m＝25.选考系列(请在下面的两题中任选一题作答)4．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosα，y＝1＋3sinα(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＋π6＝23.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)射线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ≥0)，若射线OP与曲线C的交点为A，与直线l的交点为B，求线段AB的长．解：(1)由x＝3cosα，y＝1＋3sinα，可得x＝3cosα，y－1＝3sinα，所以x2＋(y－1)2＝3，所以曲线C的普通方程为x2＋(y－1)2＝3.由ρsinθ＋π6＝23，可得ρ32sinθ＋12cosθ＝23，所以32ρsinθ＋12ρcosθ－23＝0，所以直线l的直角坐标方程为x＋3y－43＝0.(2)法一：曲线C的方程可化为x2＋y2－2y－2＝0，所以曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ－2＝0.由题意设Aρ1，π6，Bρ2，π6，将θ＝π6代入ρ2－2ρsinθ－2＝0，可得ρ2－ρ－2＝0，所以ρ＝2或ρ＝－1(舍去)，即ρ1＝2，将θ＝π6代入ρsinθ＋π6＝23，可得ρ＝4，即ρ2＝4，所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝2.法二：因为射线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ≥0)，所以射线OP的直角坐标方程为y＝33x(x≥0)，由x2＋y－12＝3，y＝33xx≥0，解得A(3，1)，由x＋3y－43＝0，y＝33xx≥0，解得B(23，2)，所以|AB|＝23－32＋2－12＝2.5．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x－1|.(1)求不等式f(x)≤3的解集；(2)若不等式f(x)≤ax的解集为空集，求实数a的取值范围．解：由题意f(x)＝－3x＋3，x≤12，x＋1，12x2，3x－3，x≥2，作出f(x)的图象如图所示，注意到当x＝0或x＝2时，f(x)＝3，结合图象可知，不等式的解集为[0,2]．(2)由(1)可知，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)≤ax的解集为空集可转化为f(x)ax对任意x∈R恒成立，即函数y＝ax的图象始终在函数y＝f(x)的图象的下方，当直线y＝ax过点A(2,3)以及与直线y＝－3x＋3平行时为临界情况，所以－3≤a32，即实数a的取值范围为－3，32.