备战新课标高考理科数学202031保分大题强化练三解析

保住基本分·才能得高分“3＋1”保分大题强化练三前3个大题和1个选考题不容有失1．设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝44－an(n∈N*)．(1)求证：数列1an－2是等差数列；(2)设bn＝a2na2n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)证明：∵an＋1＝44－an，∴1an＋1－2－1an－2＝144－an－2－1an－2＝4－an2an－4－1an－2＝2－an2an－4＝－12.又a1＝1，∴1a1－2＝－1，∴数列1an－2是以－1为首项，－12为公差的等差数列．(2)由(1)知1an－2＝－1＋(n－1)－12＝－n＋12，∴an＝2－2n＋1＝2nn＋1，∴bn＝a2na2n－1＝4n2n＋122n－12n＝4n22n－12n＋1＝1＋12n－12n＋1＝1＋1212n－1－12n＋1，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝n＋121－13＋13－15＋15－17＋…＋12n－1－12n＋1＝n＋121－12n＋1＝n＋n2n＋1，∴数列{bn}的前n项和Tn＝n＋n2n＋1.2.如图所示多面体ABCDEF，其底面ABCD为矩形，且AB＝23，BC＝2，四边形BDEF为平行四边形，点F在底面ABCD内的投影恰好是BC的中点．(1)已知G为线段FC的中点，证明：BG∥平面AEF；(2)若二面角F­BD­C的大小为π3，求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值．解：(1)证明：如图，连接AC交BD于H，连接GH，则GH为△ACF的中位线，∴GH∥AF.∵GH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，∴GH∥平面AEF.又BD∥EF，BD⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴BD∥平面AEF.连接DG，∵BD∩GH＝H，BD⊂平面BDG，GH⊂平面BDG，∴平面BDG∥平面AEF，∵BG⊂平面BDG，∴BG∥平面AEF.(2)取BC的中点O，AD的中点M，连接OF，OM，则OF⊥平面ABCD，OM⊥BC，以O为坐标原点，OC，OM，OF所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，B(－1,0,0)，C(1,0,0)，D(1,23，0)，∴BD→＝(2,23，0)．设OF＝a(a＞0)，则F(0,0，a)，∴BF→＝(1,0，a)．设平面BDEF的法向量为n1＝(x，y，z)，由n1·BD→＝0，n1·BF→＝0，得x＋3y＝0，x＋az＝0.令x＝－3a，得n1＝(－3a，a，3)．易得平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)．∵二面角F­BD­C的大小为π3，∴|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1|·|n2|＝34a2＋3＝12，解得a＝32.设直线AE与平面BDEF所成的角为θ，∵AE→＝AD→＋DE→＝BC→＋BF→＝(2,0,0)＋1，0，32＝3，0，32，且n1＝－332，32，3，∴sinθ＝|cos〈AE→，n1〉|＝|AE→·n1||AE→|·|n1|＝33352×23＝55.故直线AE与平面BDEF所成角的正弦值为55.3．2019年2月25日，第11届罗马尼亚数学大师赛(简称RMM)于罗马尼亚首都布加勒斯特闭幕，最终成绩揭晓，以色列选手排名第一，而中国队无一人获得金牌，最好成绩是获得银牌的第15名，总成绩排名第6.在分量极重的国际数学奥林匹克(IMO)比赛中，过去拿冠军拿到手软的中国队，已经连续4年没有拿到冠军了．人们不禁要问“中国奥数究竟怎么了？”，一时间关于各级教育主管部门是否应该下达“禁奥令”成为社会讨论的热点．某重点高中培优班共50人，现就这50人对“禁奥令”的态度进行问卷调查，得到如下的列联表：不应下“禁奥令”应下“禁奥令”总计男生5女生10总计50若按对“禁奥令”的态度采用分层抽样的方法从50人中抽出10人进行重点调查，其中认为不应下“禁奥令”的同学共有6人．(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关？说明你的理由．(2)现从这10人中抽出2名男生、2名女生，记此4人中认为不应下“禁奥令”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考公式与数据：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d.P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828解：(1)设认为不应该下“禁奥令”的同学共有x人，则610＝x50，解得x＝30，所以列联表补充如下：不应下“禁奥令”应下“禁奥令”总计男生20525女生101525总计302050所以K2＝50×20×15－5×10225×25×30×20≈8.3336.635，所以有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关．(2)由题意，可知在这10人中，男、女生各5人，其中男生有4人、女生有2人认为不应下“禁奥令”，ξ的所有可能取值有1,2,3,4.P(ξ＝1)＝C14C11C23C25C25＝325，P(ξ＝2)＝C24C23＋C14C11C12C13C25C25＝2150，P(ξ＝3)＝C14C11C22＋C24C12C13C25C25＝25，P(ξ＝4)＝C24C22C25C25＝350.所以ξ的分布列为ξ1234P325215025350所以E(ξ)＝1×325＋2×2150＋3×25＋4×350＝2.4.选考系列(请在下面的两题中任选一题作答)4．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A(2,1)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ＝3.从坐标原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|·|ON|＝12，记点N的轨迹为曲线C.(1)写出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|·|AQ|的值．解：(1)直线l1的参数方程为x＝2＋tcos30°，y＝1＋tsin30°(t为参数)，即x＝2＋32t，y＝1＋12t(t为参数)．设N(ρ，θ)，M(ρ1，θ1)(ρ0，ρ10)，则ρρ1＝12，θ＝θ1，又ρ1cosθ1＝3，所以ρ3cosθ＝12，即ρ＝4cosθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0(x≠0)．(2)设P，Q对应的参数分别为t1，t2，将直线l1的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得2＋32t2＋1＋12t2－42＋32t＝0，即t2＋t－3＝0，Δ＝130，t1，t2为方程的两个根，所以t1t2＝－3，所以|AP|·|AQ|＝|t1t2|＝|－3|＝3.5．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x＋1|.(1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M；(2)设a，b∈M，证明：f(ab)＞f(a)－f(－b)．解：(1)由题意，|x＋1||2x＋1|－1，①当x≤－1时，不等式可化为－x－1＜－2x－2，解得x＜－1；②当－1＜x＜－12时，不等式可化为x＋1＜－2x－2，此时不等式无解；③当x≥－12时，不等式可化为x＋1＜2x，解得x＞1.综上，M＝{x|x＜－1或x＞1}．(2)证明：因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，所以要证f(ab)＞f(a)－f(－b)，只需证|ab＋1|＞|a＋b|，即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，即证a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，即证a2b2－a2－b2＋1＞0，即证(a2－1)(b2－1)＞0.因为a，b∈M，所以a2＞1，b2＞1，所以(a2－1)(b2－1)＞0成立，所以原不等式成立．