沈阳二中20152016学年度下学期第五次模拟考试高三数学理试卷答案

-1-沈阳二中2015-2016学年度下学期第五次模拟考试高三（16届）数学理科试题说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.第Ⅰ卷（60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合1,1M，2|6Nxxx，则下列结论正确的是（）A.NMB.NMC.MND.MNR2.若纯虚数z满足(1)1izai,则实数a（）A．0B．-1或1C．-1D．13．函数y=sinxsin()2x的最小正周期是()A．2B．2C．D．44.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布.A．21B.158C.3116D.29165.不等式组2503020xyxyxy≤≥≤的解集记为D，11yzx，有下面四个命题：p1：(,)xyD，1z≥p2：(,)xyD，1z≥p3：(,)xyD，2z≤p4：(,)xyD，0z其中的真命题是()A．p1，p2B．p1，p3C．p1，p4D．p2，p36.甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为()A．0.6B．0.7C．0.8D．0.667.若函数()(1)(01)，且xxfxkaaaa在R上既是奇函数，又是减函数，则()log()agxxk的图象是()Oxy21Oxy21Oxy23Oxy23A．B．C．D．8.按右图所示的程序框图，若输入110011a，则输出的b()-2-A.45B.47C.49D.519.二项式（x﹣1）n的奇数项二项式系数和64，若（x﹣1）n=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n，则a1等于（）A．﹣14B．448C．﹣1024D．﹣1610.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．5B．4C．2D．1正视图俯视图侧视图211211111.过抛物线2yx＝4焦点F的直线交其于BA,两点，O为坐标原点．若3AF，则把a的右数第i位数字赋给t是否开始输入a6?i1ii输出b结束0b1i12ibbt-3-AOB的面积为（）A.22B.2C.322D.2212.设函数fx满足22xexfxxfxx，228ef，则0x时fx（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13.已知向量cbacbka)32,)1,2(,)4,1(,)3,(且（，则实数k=______.14.设圆O：x2+y2=1，直线l：x+2y-4=0，点A∈l，若圆O上存在点B，且∠OAB=30°（O为坐标原点），则点A的纵坐标的取值范围是______．15过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60，若球半径为R，求弦AB的长度____________.16.在△ABC中，,,abc分别为内角,,ABC的对边，4ac，2costansin2BAA，则△ABC的面积的最大值为.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知数列na满足12323(*)naaanannN。（Ⅰ）求数列na的通项公式na；（Ⅱ）令1122112(*),nannnnbnNTbbba，写出nT关于n的表达式，并求满足nT＞52时n的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD平面ABPE=AB，且2,1ABBPADAE，,AEAB且AE∥BP．-4-（1）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．19．(本小题满分12分)某校高二年级开设,,,,abcde五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选a课程，不选b课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．(I)求甲同学选中c课程且乙同学未选中c课程的概率；(II)用X表示甲、乙、丙选中c课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．20.（本小题满分12分）椭圆)0(1:2222babyaxC的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且与椭圆1222yx有相同离心率．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线mkxyl:与椭圆C交于不同的BA,两点，且椭圆C上存在点Q，满足OQOBOA，（O为坐标原点），求实数取值范围．21（本小题满分12分）已知函数xaxxf)ln()(.(Ⅰ)若1a,证明:函数fx是0,上的减函数；(Ⅱ)若曲线yfx在点1,1f处的切线与直线0xy平行,求a的值；(Ⅲ)若0x，证明:ln1e1xxxx(其中e2.71828是自然对数的底数).请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲-5-如图所示，过点P分别做圆O的切线PA、PB和割线PCD，弦BE交CD于F，满足P、B、F、A四点共圆.（Ⅰ）证明：CDAE//；（Ⅱ）若圆O的半径为5，且3FDCFPC,求四边形PBFA的外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，直线l经过点0,1P，其倾斜角为，以原点o为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线c的极坐标方程为01cos62．参数方程，若直线l与曲线c有公共（Ⅰ）写出直线l的点，求的取值范围；（Ⅱ）设yxM,为曲线c上任意一点，求yx的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数|3|)(xxf.(1)求不等式的解集；|1|2)(xxf(2)已知6)()(,211,mnfnmfmnnmRnm求证且.沈阳二中2015-2016学年度下学期第五次模拟考试高三（16届）数学理科试题参考答案（1）～（5）CDCDD(6)～（10）AADBA(11)～（12）CD（13）3（14）6,25（15）Ra362(16）3-6-5.【解析】可行域如图所示，A(1，3),B(2，1)，所以所以，故p2，p3正确，故答案为D.7.【试题解析】D经计算得01234512120202121251b10.11【解析】设直线AB的倾斜角为(0)及BFm，∵3AF，∴点A到准线:1lx的距离为3，∴23cos3,即1cos3，则22sin3．∵2cos()mm，∴23.1cos2m∴AOB的面积为1132232sin1(3)22232SOFAB.12.【解析】由题意得：232xexfxfxx，令22xhxexfx，则22(2)2[2]xxxxeexhxexfxxfxexx，因此当(0,2)x时，0hx；当(2,)x时，0hx；即2222min(2)2222408ehxhefe，因此0x时0fx，故选D.15.由条件可抓住BCDA是正四面体，A、B、C、D为球上四点，则球心在正四面体-7-中心，设aAB，则截面BCD与球心的距离Rad36，过点B、C、D的截面圆半径ar33，所以222)36()33(RaRa得Ra362．16.17.-8-18.（1）证明：（方法一）由已知，平面ABCD平面ABPE，且BCAB，则BC平面ABPE，所以,,BABPBC两两垂直，故以B为原点，,,BABPBC分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则1(0,2,0),(2,0,1),(1,1,),(2,1,0),(0,0,1)2PDMEC，所以1=(1,0,)2EM．易知平面ABCD的一个法向量等于(0,1,0)n，-9-因为1=(1,0,)(0,1,0)02EMn，所以EMn，又EM平面ABCD，所以EM∥平面ABCD．……………………………6分（方法二）由已知，平面ABCD平面ABPE，且BCAB，则BC平面ABPE，所以,,BABPBC两两垂直．连结,ACBD，其交点记为O，连结MO，EM．因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点．因为M为PD中点，所以OM∥PB，且12OMPB．又因为AE∥PB，且12AEPB，所以AE∥OM，且AE=OM．所以四边形AEMO是平行四边形，所以EM∥AO.因为EM平面ABCD，AO平面ABCD，所以EM∥平面ABCD．……………6分（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为25．理由如下：因为(2,2,1),(2,0,0)PDCD，设平面PCD的一个法向量为1111(,,)nxyz，由110,0nPDnCD得1111220,20.xyzx取11y，得平面PCD的一个法向量1(0,1,2)n．……………………………8分假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于25．设(01)PNPD，则(2,2,1)(2,2,)PN，(2,22,)BNBPPN．所以111||sin|cos,|||||BNnBNnBNn222222255(2)(22)()5984．…………………..10分所以29810，解得1或19（舍去）．因此，线段PD上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于25．………………………………………………………………………………12分-10-1920.解：（I）由已知可22,2.2cca解得2,11,abc．………………………3分所求椭圆C的方程1222yx．…………………………4分（II）建立方程组22,22,ykxmxy-11-消去y，整理得0224)21(222mkmxxk．)21(8)22)(21(416Δ222222mkmkmk．由于直线直线l与椭圆C交于不同的BA,两点，0，有2212km．①………………………………6分设1122(,),(,),(,)QQAxyxyQxy,于是122412kmxxk，221212122)(kmmxxkyy．………………………8分当0m时，易知点BA,关于原点对称，则0；当0m时，易知点BA,不关于原点对称，则0．此时，由OAOBOQ，得12121(),1(),QQxxxyyy即224,(12)2.(12)QQkmxkmykQ点在椭圆上，∴2])21(2[2])21(4[2222kmkkm．化简得22222)21()21(4kkm．)21