渤海高中20162017学年度第一学期中考试高三数学文学科试卷

渤海高中2016—2017学年度第一学期中考试高三数学（文）学科试题试题满分：150分2016.10.23本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择考查范围：必修1——必修5全册考生注意：1.答题前，考生务必将自己的考号、姓名填写在试题、答题纸和答题卡上，考生要认真核对涂准答题卡上的相关信息。2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。在试题卷上作答，答案无效。3.考试结束，监考员将答题纸和答题卡按对应次序排好收回。第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（每题5分，共60分）1.已知复数z1＝1＋i，z2＝1＋bi，i为虚数单位，若z1z2为纯虚数，则实数b的值是()A．1B．－1C．2D．－22.“若x，y∈R且x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是()A．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y全不为0B．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y不全为0C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2＋y2＝0D．若x，y∈R且x，y不全为0，则x2＋y2≠03.设全集U＝R，集合A＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，B＝[－1，＋∞)，则下列关系正确的是()A．B⊆AB．A⊆∁UBC．(∁UA)∪B＝BD．A∩B＝∅4.已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为A．1B．2C．3D．45.．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是()A．y＝x13B．y＝log13|x|C．y＝x＋2xD．y＝2－x－2x，6.．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A．6B．8C．2＋32D．2＋237.设a＝40.8，b＝80.46，c＝(12)－1.2，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．bacC．cabD．cba8.在等差数列{an}中，已知a4＝7，a3＋a6＝16，an＝31，则n为()A．13B．14C．15D．169.．若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx－2在x＝1处有极值，则ab的最大值为A．2B．3C．6D．910.．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω0，|φ|≤π2)的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为()A．y＝－4sin(π8x＋π4)B．y＝4sin(π8x－π4)C．y＝－4sin(π8x－π4)D．y＝4sin(π8x＋π4)11.若四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则该四边形一定是()A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形12.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A．2＋2＋6B．2(1＋2)＋6C.23D．2＋322＋6二、填空题（每题5分，共20分）13.．已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋b|＝7，〈a，b〉＝π3，则|b|＝14.公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－3a1，－a2，a3成等差数列，若a1＝1则S4＝15．求过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的13的直线方程16..如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝223，AB＝32，AD＝3，则BD的长为________．三、解答题（共六道题，满分70分）17（满分10分)已知等差数列{an}中，a5＝12，a20＝－18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.18.(满分12分在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知m＝cos3A2，sin3A2，n＝cosA2，sinA2，且满足|m＋n|＝3.(1)求角A的大小；(2)若|AC→|＋|AB→|＝3|BC→|，试判断△ABC的形状．19.（满分12分）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D为棱AB的中点，BC＝1，AA1＝3.(1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)求三棱锥D－A1B1C的体积.20.（满分12分）已知函数f(x)＝2－(3sinx－cosx)2.(1)求fπ4的值和f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间[－π6，π3]上的最大值和最小值．21（满分12分）.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2.当n≥2时，Sn－1＋1，an，Sn＋1成等差数列．(1)求证：{Sn＋1}是等比数列；(2)求数列{nan}的前n项和Tn.22.（满分12分）已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围．渤海高中2016—2017学年度第一学期中考试高三数学（文）学科试题答案一、选择题（每题5分，共60分）1.已知复数z1＝1＋i，z2＝1＋bi，i为虚数单位，若z1z2为纯虚数，则实数b的值是()A．1B．－1C．2D．－2解析：z1z2＝1＋i1＋bi＝＋－b＋b－b＝＋b＋－b1＋b2＝1＋b1＋b2＋1－b1＋b2i，因为z1z2为纯虚数，所以1＋b1＋b2＝0，且1－b1＋b2≠0，解得b＝－1.答案：B2.“若x，y∈R且x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是()A．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y全不为0B．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y不全为0C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2＋y2＝0D．若x，y∈R且x，y不全为0，则x2＋y2≠0解析：由否命题的概念可知，原命题的否命题为“若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y不全为0”，故选B.3.设全集U＝R，集合A＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，B＝[－1，＋∞)，则下列关系正确的是()A．B⊆AB．A⊆∁UBC．(∁UA)∪B＝BD．A∩B＝∅解析：借助数轴逐一判断．画出数轴易知A，B错误；因为∁UA⊆B，所以(∁UA)∪B＝B，故C正确；又A∩B＝(1，＋∞)，所以D错误，故选C.答案：C4.已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为A．1B．2C．3D．4答案：D5.．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是()A．y＝x13B．y＝log13|x|C．y＝x＋2xD．y＝2－x－2x，选D.6.．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A．6B．8C．2＋32D．2＋23B7.设a＝40.8，b＝80.46，c＝(12)－1.2，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．bacC．cabD．cba解析：∵a＝40.8＝21.6，b＝80.46＝21.38，c＝(12)－1.2＝21.2，又∵1.61.381.2，∴21.621.3821.2.即abc.故选A.8.在等差数列{an}中，已知a4＝7，a3＋a6＝16，an＝31，则n为()A．13B．14C．15D．16解析：由已知可得a4＋a5＝7＋a5＝a3＋a6＝16，得a5＝16－7＝9，故公差d＝a5－a4＝9－7＝2，同时解得a1＝1，由1＋(n－1)×2＝31，解得n＝16，答案：D9.．若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx－2在x＝1处有极值，则ab的最大值为(A．2B．3C．6D．910.．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω0，|φ|≤π2)的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为()A．y＝－4sin(π8x＋π4)B．y＝4sin(π8x－π4)C．y＝－4sin(π8x－π4)D．y＝4sin(π8x＋π4)解析：根据正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω0，|φ|≤π2)的图象的性质可得T＝2|6－(－2)|＝16，故ω＝2πT＝π8，又根据图象可知f(6)＝0，即Asin(π8×6＋φ)＝0.由于|φ|≤π2，故只能π8×6＋φ＝π，解得φ＝π4，即y＝Asin(π8x＋π4)，又由f(2)＝－4，即Asin(π8×2＋π4)＝－4，解得A＝－4，故f(x)＝－4sin(π8x＋π4)．答案：A11.若四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则该四边形一定是()A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形解析：由AB→＋CD→＝0知，AB→＝DC→，即AB＝CD，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．又(AB→－AD→)·AC→＝0，∴DB→·AC→＝0，即AC⊥BD，因此四边形ABCD是菱形，答案：B12.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A．2＋2＋6B．2(1＋2)＋6C.23D．2＋322＋6解析：由三视图易知原几何体为水平放置的直三棱柱．底面为直角三角形，直角边长分别为1和2，斜边长为3.三棱柱的高为2.故该几何体的表面积为2＋22＋6.答案：A二、填空题（每题5分，共20分）13.．已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋b|＝7，〈a，b〉＝π3，则|b|＝解析：由|a＋b|＝7可得，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×|b|cosπ3＋|b|2＝7，所以|b|2＋|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－3(舍去)．答案：214.公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－3a1，－a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4＝解析：记等比数列{an}的公比为q，其中q≠1，依题意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q＝－3a1＋a1q2≠0，即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，又q≠1，因此有q＝－3，S4＝1×[1－－4]1＋3＝－20，15．求过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的13的直线方程解析：(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×13＝－43.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y－3＝－43(x－1)，即4x＋3y－13＝0.16..如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝223，AB＝32，AD＝3，则BD的长为________．解析：先利用诱导公式化简三角函数，再利用余弦定理求解．∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝223，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×32×3×223＝3∴BD＝3.答案：3三、解答题（共六道题，满分70分）17（满分10分)已知等差数列{an}中，a5＝12，a20＝－18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解：(1)设数列{an}的公差为d，依题意得a5＝a1＋4d＝12a20＝a1＋19d＝－18，解得a1＝20d＝－2，∴an＝20＋(n－1)×(－2)＝－2n＋22.18.(满分12分在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知m＝cos3A2，sin3A2，n＝cosA2，sinA2，且满足|m＋n|＝3.(1)求角A的大小；(2)若|AC→|＋|AB→|＝3|BC→|，试判断△ABC的形状．【典例精讲】(1)由|m＋n|＝3，得m2＋n2＋2m·n＝3，即1＋1＋2cos3A2cosA2＋sin3A2sinA2＝3，∴2＋2cosA＝3.∴cosA＝12.∵0＜A＜π，∴A＝π3.(2)∵|AC→|＋|AB→|＝3|BC→|，∴b＋c＝3a，∴sinB＋sinC＝3sinA，∴sinB＋sin2π3－B＝3×32，即32sinB＋12cosB＝32，∴sinB＋π6＝32.∵0＜B＜2π3，∴π6＜B＋π6＜5π6，∴B＋π6＝π3或2π3，故B＝π6或π2.当B＝π6时，C＝π2；当B＝π2时，C＝π6.故△ABC是直角三角形．19.（满分12分）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，