辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟数学理试题答案

东北育才学校高中部2019届高三第八次模拟数学试题（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分命题：高三数学备课组第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合{|(1)(2)0},{|0}MxxxNxx，则A.NMB.MNC．MNID．MNR2.记复数z的虚部为Im()z，已知z满足12izi，则Im()z为（）A.1B.iC.2D.2i3.已知公比不为1的等比数列{}na满足15514620aaaa，若210ma，则mA.9B.10C.11D.124.2222(2)(2)2xyxy表示的曲线方程为A.221(1)xyxB.221(1)xyxC.221(1)yxyD.221(1)yxy5.已知向量2(,1)mxur，(,2)nxr，命题1:2px，命题:q0,使得mnurr成立，则命题p是命题q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为A．3B．22C．5D．27.4月30日，庆祝东北育才学校建校70周年活动中，分别由东北育才学校校长、教师代表、学生代表、清华大学校长和北京大学校长各1人做主题演讲，其中演讲顺序要求两位大学校长不相邻，则不同的安排方法为A.24种B.48种C.72种D.96种8.已知257017(232)(1)xxxaaxax，则0246aaaaA.24B.48C.72D.969.设3log6a，5log10b，61log2c，则A．abcB．bacC．cabD．cba10.已知函数cos23fxx在,2a上有最小值1，则a的最大值A．2B．3C．4D．611.已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率A.1320B.920C.15D.12012.己知椭圆222210xyabab直线l过左焦点且倾斜角为3，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为A.77B.255C.255D.277第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与古希腊的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入288,123ab时，输出的a.14.已知三棱锥ABCP中，侧棱2,5,9PAPBPC,当侧面积最大时，三棱锥ABCP的外接球体积为15.设函数|ln|,0()(x1)e,0xxxfxx，若函数()()gxfxb有三个零点，则实数b的取值范围是.16．已知数列{}na中，11a，nS是数列{}na的前n项和，且对任意的*、rtN，都有2()rtSrSt，则na三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)在ABC△中，21a，120A，ABC△的面积等于3，且bc．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求cos2B的值．18.(本小题满分12分)某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案(1)规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案(2)规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。(1)随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；(2)若骑手甲、乙选择了日工资方案(1)，丙、丁选择了日工资方案(2)．现从上述4名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案(1)的概率；(3)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由．（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）19.(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，ADE，BCF均为等边三角形，//EFAB，112EFADAB．（Ⅰ）过BD作截面与线段CF交于点N，使得//AF平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．20.(本小题满分12分)已知抛物线2:2Cypx过点(2,2)M，,AB是抛物线C上不同两点，且ABOM∥（其中O是坐标原点），直线AO与BM交于点P，线段AB的中点为Q.（Ⅰ）求抛物线C的准线方程；（Ⅱ）求证：直线PQ与x轴平行.21.(本小题满分12分)已知函数221lnfxaxaxaRx．（Ⅰ）当1a时，求fx的单调区间；（Ⅱ）设函数12xeaxagxfxx，若2x是gx的唯一极值点，求a．请考生在22~23中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)【选修4－4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为12cos12sinxy（为参数）．（Ⅰ）求曲线C的普通方程；（Ⅱ）经过点(1,2)M作直线l交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线l的普通方程．23.(本小题满分10分)【选修4-5:不等式选讲】已知 ,ab是正实数，且2ab，证明：（Ⅰ）2ab；（Ⅱ）33(4)()abab．东北育才学校高中部2019届高三第八次模拟数学试题（理科）一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.B2.A3.B4.C5.A6.A7.C8.B9.D10.B11.C12.D二、填空题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.314.32315..(0,1]16.21n三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）由已知得2221=sin=32(21)=2cos120SbcAbcbc，……………（2分）整理得22=4=17bcbc，……………（4分）解得=1=4bc或=4=1bc.因为bc，所以1b．……………（6分）（Ⅱ）由正弦定理sinsinabAB，即372sin=1421B．……………（9分）所以22713cos2=12sin12()1414BB.……………（12分）18.解：（1）设事件A为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单”依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.20.150.05，，因为0.20.150.050.4所以()PA估计为0.4.……………（4分）（2）设事件B为“从四名骑手中随机选取2人，至少有1名骑手选择方案（1）”从四名新聘骑手中随机选取2名骑手，有6种情况，即{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}其中至少有1名骑手选择方案（1）的情况为{甲，乙}，{甲，丙},，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，所以5()6PB……………（8分）（3）方法1：快餐店人均日快递量的平均数是：300.05400.05500.2600.3700.2800.15900.0562因此，方案（1）日工资约为50623236方案2日工资约为10062445190236故骑手应选择方案（1）……………（12分）方法2：设骑手每日完成快递业务量为n件方案（1）的日工资*1503()ynnN，方案（2）的日工资*2*100,44,1005(44),44,nnynnnNN当17n时，12yy依题意，可以知道25n，所以这种情况不予考虑当25n时，令503100544nn则85n即若骑手每日完成快递业务量在85件以下，则方案（1）日工资大于方案（2）日工资，而依题中数据，每日完成快递业务量超过85件的频率是0.05，较低，故建议骑手应选择方案（1）……………（12分）方法3：设骑手每日完成快递业务量为n单，方案（1）的日工资*1503()ynnN，方案（2）的日工资*2*100,44,1005(44),44,nnynnnNN所以方案（1）日工资约为1400.051700.052000.22300.32600.22900.153200.05236方案（2）日工资约为1000.051000.051300.21800.32300.22800.153300.05194.5因为236194.5，所以建议骑手选择方案（1）.……………（12分）19.解：（1）当N为CF的中点时，//AF平面BDN．……………（1分）证明：连结AC交BD于M，连结MN．四边形ABCD是矩形，M是AC的中点，N是CF的中点，//MNAF，又AF平面BDN，MN平面BDN，//AF平面BDN．……………（5分）（2）过F作FO平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴BC于P，则P为BC的中点．以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1，则1BF，32FP，112EFAB，1122OPABEF，22OF．13,,022A，11,,022B，11,,022C，20,0,2F，112,,444N．0,2,0AB，132,,222AF，312,,444BN．……………（7分）设平面ABF的法向量为,,nxyz，则00nABnAF，201320222yxyz，令2z得2,0,2n，……………（9分）1nBN，6n，32BN．2cos,3nBNnBNnBN．……………（11分）直线BN与平面ABF所成角的正弦值为2cos,3nBN．……………（12分）20.解：（Ⅰ）由题意得22=4p，解得1p．所以抛物线C的准线方程为122px．……………（4分）（Ⅱ）设211,2yAy，222,2yBy，由ABOM∥得1ABOMkk，则212221212122yyyyyy，所以212yy．……………（6分）所以线段AB中点Q的为纵坐标1Qy．……………（7分）直线AO方程为121122yyxxyy┅①直线BM方程为222222222222yyxxyy┅②……………（9分）联立①②解得121yxy，即点P的为纵坐标1Py．……………（11分）如果直线BM斜率不存在，结论也显然成立．……………（12分）21解：（1）当1a时，2lnfxxxx，定义域为0,．'2212121xxfxxxx，令'0fx，解得2x．函数fx在0,2上单调递增；在2,上单调递减．……………（2分）（2）由题意可得：12221lnxeaxagxaxa