辽宁省鞍山市2017届高三数学下学期第一次质量检测试题理

1鞍山市2017年高中毕业班第一次质量调查数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集UR，集合13Axx，集合24xBx，则UAB∩ð（）A．12xxB．12xxC．02xxD．11xx2．若复数z满足112zii，其中i为虚数单位，则复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若622xmxx的展开式中4x的系数为30，则m的值为（）A．52B．52C．152D．1524．已知数列na满足：211nnnaaa2n，若23a，24621aaa，则468aaa（）A．84B．63C．42D．215．已知向量ar，br满足1ar，abarrr，2abbrrr，则向量ar，br的夹角为（）A．6B．4C．3D．346．执行下图程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S（）A．7B．6C．5D．47．已知函数cossin4fxxx，则函数fx满足（）2A．最小正周期为2TB．图象关于点2,84对称C．在区间0,8上为减函数D．图象关于直线8x对称8．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4B．203C．263D．89．已知log11afxx（0a且1a）恒过定点M，且点M在直线1xymn（0m，0n）上，则mn的最小值为（）A．322B．8C．42D．410．已知点P在抛物线24xy上，则当点P到点1,2Q的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．2,1B．2,1C．11,4D．11,411．已知定义域在R上的函数fx满足112fxfx.当1x时，11fxx.则关于x的方程20fxa没有负实根时实数a的取值范围是（）A．1,1,2∪B．0,1C．111,,22∪D．112,,022∪312．过双曲线22221xyab（0a，0b）的右焦点,0Fc作圆222xya的切线，切点为M.直线FM交抛物线24ycx于点N，若2OFONOMuuuruuuruuur（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．52B．512C．5D．15第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若x，y满足约束条件10,20,220,xyxyxy，则2zxy的最小值为．14．现在要安排6名大学生到工厂去做3项不同的实习工作，每项工作需要2人，则甲、乙二人必须做同一项工作，而丙、丁二人不能做同一项工作的概率为．15．已知等差数列na中，1tan225a，5113aa，设nS为数列1nna的前n项和，则2017S．16．给出下列五个命题：①“若5xy，则2x或3y”是假命题；②从正方体的面对角线中任取两条作为一对，其中所成角为60的有48对；③“2m”是方程222112xymm表示焦点在x轴上的双曲线的充分不必要条件；④点,Pxy是曲线1mxny（0m，0n）上的动点，且满足2221xyy22214xyy，则32mn的取值范围是2,；⑤若随机变量服从正态分布3,4N，且23Pa2Pa，则73a.其中正确命题的序号是（请把正确命题的序号填在横线上）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知锐角ABCV的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b，3c，ABCV的面积为332，又2ACCDuuuruuur，记CBD.（Ⅰ）求a，A，cosB的值；（Ⅱ）求cos2的值.418．如图四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，且60ABC，2ABPC，2PAPB.（Ⅰ）求证：平面PAB平面ABCD；（Ⅱ）二面角PACB的余弦值.19．上周某校高三年级学生参加了数学测试，年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中抽取80名学生的数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；（Ⅱ）假设抽出学生的数学成绩在90,100段各不相同，且都超过94分.若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数字中任意抽取2个数，有放回地抽取3次，记这3次抽取中恰好有两名学生的数学成绩的次数为X，求X的分布列和期望.20．过椭圆C：22221xyab0ab上一点P向x轴作垂线，垂足为右焦点F，A、B分别为椭圆C的左顶点和上顶点，且ABOP∥，63AF.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若动直线l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆恒过坐标原点O.问是否存在一个定圆与动直线l总相切.若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.21．已知函数2ln1fxxax，其中aR（Ⅰ）若函数fx在1x处的切线与直线10xy垂直，求a的值；5（Ⅱ）讨论函数fx极值点的个数，并说明理由；（Ⅲ）若0x，0fx恒成立，求a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cossinxayb（0ab，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线1C上的点31,2M对应的参数3，射线3与曲线2C交于点1,3D.（Ⅰ）求曲线2C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点1,A，2,2B在曲线1C上，求221211的值.23．选修4-5：不等式选讲设函数52fxxxa，xR.（Ⅰ）当12a时，求不等式4fx的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式fxa在R上恒成立，求实数a的最大值.鞍山市2017年第一次质量调查数学（理科）参考答案一、选择题1-5:BCBCD6-10:ADBAD11、12：AB二、填空题613．414．21515．302516．②④⑤三、解答题17．解：（1）由ABCV的面积为332，有33sin2ABCSbcAV，即13323sin22A，得3sin2A，又A为锐角，故3A再由余弦定理：2222cosabcbA2223223cos73，得7a，222cos2acbBac222732277273.（2）由2ACCDuuuruuur，知1CD，由ABCV为正三角形，即3BD，且221sin1cos7BB，所以coscos3Bcoscossinsin33BB12732157272714，所以2cos22cos11114.18．解：（1）证明：取AB中点O，连结PO，CO，由2PAAB，2AB，知PABV为等腰直角三角形，1PO，POAB，由2ABBC，60ABC，知ABCV为边三角形，3CO，由2PC得222POCOPC，POCO，又ABCOO∩，AB、CO平面ABCDPO平面ABC，又PO平面PAB，平面PAB平面ABCD.（2）由（1）OB、CO、OP两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，则0,1,0A，3,0,0C，0,0,1P，3,1,0ACuuur，0,1,1APuuur，设平面PAC的法向量为,,nxyzr，则300nACxynAPyzruuurruuur，取1x，则1,3,3nr，又平面BAC的一个法向量为0,0,1mur，设二面角PACB的大小为，7易知其为锐角，coscos,nmrurnmnmrurrur3217133，二面角PACB的余弦值为217.19．解：（1）平均分0.05450.15550.2650.3750.25850.059572分.众数的估计值是75分.（2）在90,100段的人数800.054（人），设每次抽取两个数恰好是两名学生的成绩的概率为p，则242625CpC，显然，X的可能取值为0，1，2，3.23,5XBQ:，332255kkkPXKC0,1,2,3kX的分布列为：X0123P2712554125361258125275401125125EX3686231251255,26355EX或20．解：（1）由题意得2,bPca，所以2OPbkac，ABbka.由ABOP∥得2bbaca，解得bc，2ac，由63AFac，得3bc，6a，椭圆C的方程为22163xy.（2）假设存在这样的圆.设11,Mxy，22,Nxy.由已知，以MN为直径的圆恒过原点O，即OMONuuuruuur，所以12120xxyy.当直线l垂直于x轴时，12xx，12yy，所以22110xy，又2211163xy，解得22112xy，8不妨设2,2M，2,2N或2,2M，2,2N，即直线l的方程为2x或2x，此时原点O到直线l的距离为2d.当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为ykxm，解22163xyykxm消去y得方程：22124kxkmx2260m，因为直线l与椭圆C交于M，N两点，所以方程的判别式224412kmk2260m，即2232mk，且122412kmxxk，21222612mxxk.由12120xxyy，得1212xxkxmkxm22121210kxxkmxxm，所以22226112mkk22224012kmmk，整理得2221mk（满足0）.所以原点O到直线l的距离221mdk.综上所述，原点O到直线l的距离为定值2，即存在定圆222xy总与直线l相切.21．解：（1）因为121fxaxx，由fx在1x处的切线与直线10xy垂直，可知11212fa，所以14a；（2）由题意知，函数fx的定义域为1,，121fxaxx22211axaxx，令2221gxaxax，1,x.（i）当0a时，1gx，此时0fx，函数fx在1,单调递增，无极值点；（ii）当0a时，方程2221gxaxax的判别式24842aaaa.①当02a时，0，0gx，0fx，函数fx在1,单调递增，无极值点；②当2a时，0，设方程22210axax的两根为1x，212xxx，因为121xx，2221gxaxax的对称轴方程为12x，所以112x，212x，由1010gg，可得1112x