辽宁省大连市20142015学年高二数学上学期期末考试试卷答案理

2014～2015学年第一学期期末考试试卷高二数学(理科)本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡和答题纸上，在本试卷上答题无效．第I卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“1x”是“2xx”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不必要也不充分条件2.等差数列na的前n项和为nS，若1910aa，则9S的值为()A．30B．45C.90D．1803.已知椭圆192522yx上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M到另一个焦点的距离等于（）A.1B.3C.6D.104.下列命题错误．．的是（）A．命题“若p则q”与命题“若q，则p”互为逆否命题B．命题“xR,02xx”的否定是“xR,02xx”C．0x且1x，都有21xxD．“若babmam则,22”的逆命题为真5.如图1所示，在平行六面体1111ABCDABCD中，若11ABa，11ADb，1AAc，则下列向量中与1AC相等的向量是()A．abcB．abcC．abcD．abc6.已知变量,xy满足约束条件241yxyxy，则3zxy的最大值为（）A.12B.11C.3D.－１7.设抛物线28yx上一点P到y轴距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．12B．8C．6D．48.双曲线322yx的渐近线方程为（）图1A.xyB.3yxC.xy3D.xy339.在如图2所示的空间直角坐标系中,正方体1111ABCDABCD棱长为2，E为正方体的棱1AA的中点,F为棱AB上的一点,且190,CEF则点F的坐标为（）A.12,,02B.12,,03C.12,,04D.22,,0310.设0,0ab，若3是33ab与的等比中项，则11ab的最小值为（）A.8B.4C.1D.1411.若函数3221fxxxmx在(,)内单调递增，则m的取值范围是()A．34mB．34mC．34mD．34m12.已知12,FF分别是椭圆22221xyab的左、右焦点，P是以12FF为直径的圆与该椭圆的一个交点，且12212PFFPFF，则这个椭圆的离心率是（）A.31B．23C．312D．232第II卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．202xdxcos.14.曲线2122yxx在点3(1,)2处的切线方程为________________________.15.等差数列na、nb满足3423nnbann(näN*)，且前n项和分别为,nnAB，则55AB的值为.16.直三棱柱111ABCABC中，90BAC，1ABACCC，M是11AB的中点,则1AC与BM所成角的余弦值为________________________.三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.图217．（本小题满分10分）已知向量110(,,)a,102(,,)b.(Ⅰ)若向量kab与向量2ab互相平行，求实数k的值；(Ⅱ)求由向量a和向量b所确定的平面的单位法向量.18．(本小题满分12分)已知函数32245fxxxx.（Ⅰ）求fx的单调区间;（Ⅱ）求fx在[3,1]上的最大值和最小值．19．(本小题满分12分)已知动点M到点4,0的距离比它到直线:3lx的距离多1.（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）求过点)0,4(且倾斜角为30的直线被曲线C所截得线段的长度.20．（本小题满分12分）如图3所示，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且2PAAB，1AC，点E是PD的中点.（Ⅰ）求证：//PB平面AEC；（Ⅱ）求二面角EACB的大小.21．（本小题满分12分）已知函数xfxxae，(aR).（Ⅰ）若函数()fx在区间[3,)上是增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若2()fxe在[0,2]x时恒成立，求实数a的取值范围.图322.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,0,,0FcFc，椭圆上两点B,A坐标分别为,0,0,AaBb，若2ABF面积为32，02120BFA.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于,MN两点，证明：点O到直线MN的距离为定值.2014～2015学年第一学期期末考试答案高二数学（理科）1~12CBCDDBBAABCA13.214.2210xy15.111516.10517.解：（1）11010212kkk,,,,,,ab=k22110102322,,,,,,ab=若kab与2ab互相平行，则12322kk，故2k·········5分（2）设法向量xyzn,,，则00n,nab，故020xyxz,令1z，所以22xy,，即所求平面的一个法向量为221(,,)，故单位法向量为221333(,,)或221333(,,)······················10分18.解：（1）f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4························2分令0)(xf，则2x或32x，令0)(xf，则322x-，所以增区间为），，（，322--，减区间为），（322-···········6分（2）令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝23，x[－3，－2)-2－2，232323，1fx+0-0+fx139527∴2x为极大值点，32x为极小值点，又f(－3)＝8，f(－2)＝13，f23＝9527，f(1)＝4，∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.··········12分19.解：（1）由题意易知，动点M到点0,4的距离与到直线4x的距离相等，故M点的轨迹为以0,4为焦点，4x为准线的抛物线，此抛物线方程为216yx···4分（2）设直线与抛物线交点为BA,,直线AB方程为)4(330xy，即33433xy··············6分将直线方程与抛物线方程联立xyxy16334332，得016562xx，故16,56BABAxxxx64856pxxABBA·············12分（其他方法请酌情给分）20.解：∵PA平面ABCD，,ABAC平面ABCD∴PAAC，PAAB，且ACAB．以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系;,,AACABAP；···2分（1）∵1,2,0D，0,0,2P∴1,1,12E，∴1,1,12AE，1,0,0AC，设平面AEC的法向量为1,,xyzn，则1020xyzx，取1y，得10,1,1n．又0,2,0B，所以0,2,2PB∵1220PBn，∴PBn，又PB平面AEC，因此：//PB平面AEC．······················6分（2）∵平面BAC的一个法向量为0,0,2AP，zxy（071223-02）ECPBAD由（1）知：平面AEC的法向量为10,1,1n，设二面角EACB的平面角为（为钝角），则cos12121212cos,22nnnnnn，得：0135所以二面角EACB的大小为o135．···············12分（注：（1）问的证明用几何法亦可，但在（2）问中要体现平面AEC法向量的求解过程）21.解：（Ⅰ）'()(1)exfxxa,xR.因为函数()fx是区间[3,)上的增函数，所以'()0fx，即10xa在[3,)上恒成立.因为1yxa是增函数，所以满足题意只需310a，即2a.····6分（Ⅱ）xfxxae2xxaee，即2xaex在0,2x上恒成立，即2maxxaex构造函数2xgxex，0,2x，则21xgxe，易知210xgxe，在0,2x上恒成立，2max(0)gxge，故2ae.····12分22.解：(1)由题意，易知cbca3,2，23233)2(2122ccccSABF3,2,1bac，椭圆方程为13422yx·············4分(2)设),(),,(2211yxNyxM，当直线MN的斜率不存在时，xMN轴，MNO为等腰直角三角形，11xy，又1342121yx，解得72127121x，即O到直线MN的距离7212d····················6分当直线的斜率存在时，直线MN的方程为mkxy,与椭圆13422yx联立消去y得012)2(432222mkmxkx，222122143124,438kmxxkkmxxONOM02121yyxx，0))((2121mkxmkxxx即0)()1(221212mxxkmxxk043843124)1(2222222mkmkkmk，整理得)1(12722kmO到直线MN的距离721271212kmd···········12分