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辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于常数，“”是“方程的曲线是双曲线“的”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】方程即为，故该方程表示双曲线等价于同号，即．所以“”是“方程的曲线是双曲线”的充分必要条件．选C．2.若，则下列不等式中错误．．的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由不等式的性质可得选项B,C,D正确．对于选项A，由于，所以，故．因此A不正确．选A．3.下列函数中，最小值为4的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】选项A中，，由于不一定为正，故最小值为4不成立．选项B中，由于，故，当且仅当，即时等号成立．故B正确．选项C中，，但等号成立时需满足，不合题意，故C不正确．选项D中，不一定为正数，故D不正确．综上选项B正确．选B．4.已知实数满足，则目标函数的最小值是（）A.B.15C.0D.【答案】A【解析】作出可行域如图：当直线向上移动，过点A时，有最小值，由解得，所以，故选A.5.下列命题中，说法错误．．的是（）A.“若，则”的否命题是“若，则”B.“是真命题”是“是真命题”的充分不必要条件C.“”的否定是“”D.“若，则是偶函数”的逆命题是真命题【答案】C【解析】选项A中，由否命题的定义知，结论正确．选项B中，由“是真命题”可得“是真命题”，反之不成立．故“是真命题”是“是真命题”的充分不必要条件．所以B正确．选项C中，“”的否定是“”，故C不正确．选项D中，所给命题的逆命题为“若是偶函数，则”为真命题．故D正确．选C．6.设，若是与的等比中项，则的最小值为（）A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】∵是与的等比中项，∴，∴，∴，当且仅当且，即时等号成立．选D．7.已知分别是椭圆的左、右焦点，是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，且，则这个椭圆的离心率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，所以，因为，所以。在中，因为，所以，由椭圆定义可得，所以。故选A。【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系。由是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，得为直角三角形。由求出两锐角，根据斜边求两直角边，再根据椭圆定义得关于的关系式，可求离心率。8.设为等比数列的前项和，，则（）A.B.C.2D.17【答案】A...........................故答案选A。9.在等差数列中，是其前项和，，，则（）A.11B.C.10D.【答案】B【解析】由等差数列的知识可得，数列为等差数列，且首项为，设其公差为，则，∴，∴．选B．10.设分别是双曲线的左右焦点，点.若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】C【解析】如图，由题意得点M在直线上，则是直角三角形，其中，且，∵，∴，则，∴，整理得，∴，解得或(舍去)．选C．点睛：求椭圆或双曲线的离心率（或范围）时，要先分析题意、理清所给的条件，并将所给的条件转化到同一个三角形内，并根据三角形的有关知识得到关于的方程或不等式，消去后转化为关于的方程或不等式，再根据得到关于离心率的方程或不等式，求解后可得离心率或其范围．11.设为等差数列，若，且它的前项和有最小值，那么当取得最小正值时的值为（）A.18B.19C.20D.21【答案】C【解析】为等差数列,有最小值，则，，又，说明，，，则，，，则为最小正值.选C.12.已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，满足，，则在上的零点个数为（）A.5B.3C.1或3D.1【答案】D【解析】根据题意可构造函数则由题当时，满足，，，即函数在时是增函数，又∴当成立，∵对任意是奇函数，∴时，即只有一个根就是0．故选D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数的递增区间为__________．【答案】【解析】∵，∴，由，解得．∴函数的单调递增区间为．答案：（也对）14.在数列中，，且数列是等比数列，则__________．【答案】【解析】试题分析：由于数列是等比数列，，所以，所以公比是，所以数列的通项公式是，进而，故答案填.考点：1.通项公式；2.等比数列.15.已知函数，若函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由，得．∵函数在区间上是单调增函数，∴在上恒成立，∴在上恒成立，即在上恒成立．令，则，∴在上单调递减．∴．∴．故实数的取值范围是．答案：16.抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足,过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为__________．【答案】【解析】连AF、BF，设，由抛物线定义得，过A,B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则四边形ABPQ为梯形，MN为中位线，则．在中，由余弦定理得，．又，∴，∴．∴．故的最大值为．答案：点睛：圆锥曲线中的最值与范围问题常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的知识点较多、难度较大．解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值，常用的方法有以下几个：①利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；②利用基本不等式求出参数的取值范围；③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.若数列满足.（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，若数列的前项和为，求证：.【答案】(1)见解析，(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由变形得，可得数列为等比数列，通过求该数列的通项公式，可得数列的通项公式．（2）由（1）可得，故，利用裂项相消法求和即可．试题解析：（1)证明：∵∴，又，∴数列是首项为，公比为2的等比数列，∴∴．（2）由（1）知，∴，∴.18.已知函数.（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式.【答案】(1)(2)当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为.【解析】试题分析：（1）由条件可得不等式在上恒成立，根据抛物线的开口方向和判别式可得所求范围．（2）原不等式化为，根据的不同取值解不等式即可．试题解析：（1）由在上恒成立，可得在上恒成立．∴，解得．∴实数的取值范围为．（2）由不等式得．①当时，不等式等价于，解得；②当时，不等式等价于，无解；③当时，不等式等价于，解得；④当时，不等式等价于，解得或；综上当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为.点睛：（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．19.已知过点的动直线与抛物线相交于两点.当直线的斜率是时，.（1）求抛物线的方程；（2）设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的交点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用点斜式先写出直线的方程，令直线与抛物线联立，消参得到关于y的方程，利用韦达定理，得到和，再利用，解出，得到抛物线的方程；第二问，设出直线的方程，令抛物线与直线联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理，得到BC的中点坐标，从而得到BC的中垂线方程，令x=0，得到中垂线在y轴上的截距，再通过配方法求范围.试题解析：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，∴①,②又∵，∴y2＝4y1，③由①②③及p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，得抛物线G的方程为x2＝4y.(2)设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，由得x2－4kx－16k＝0，④∴，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－(x－2k)，∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4.∴b∈(2，＋∞)．考点：抛物线的标准方程、直线与抛物线的交点问题.20.已知数列，为数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）证明为等差数列.（3）若数列的通项公式为，令.为的前项的和，求.【答案】(1)(2)见解析；（3）【解析】试题分析：试题解析：（1）∵，∴,∴,∴.当时，，∴．∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴.（2）∵，∴，又，∴，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列.（3）由（2)知∴,∴∴①，∴，②①-②得：∴.21.已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过点的直线交椭圆于两点.（1）求该椭圆的离心率；（2）设直线和分别与直线交于点，问：轴上是否存在定点使得？乳品存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)轴上存在定点或，使得【解析】试题分析：（1）由椭圆方程分别求出a,b,c的值，求出离心率；（2）假设在x轴上存在点p，设直线BC的方程为，B(x1，y1)，C(x2，y2)，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出的表达式，求出M,N的坐标，由MP⊥NP，求出P点的坐标，即得出定点。试题解析：(1)由椭圆方程可得a＝2，b＝，从而椭圆的半焦距c＝＝1.所以椭圆的离心率为e＝＝.(2)依题意，直线BC的斜率不为0，设其方程为x＝ty＋1.将其代入＋＝1，整理得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，所以y1＋y2＝，y1y2＝.易知直线AB的方程是y＝(x＋2)，从而可得M(4，)，同理可得N(4，)．假设x轴上存在定点P(p，0)使得MP⊥NP，则有·＝0.所以(p－4)2＋＝0.将x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1代入上式，整理得(p－4)2＋＝0，所以(p－4)2＋＝0，即(p－4)2－9＝0，解得p＝1或p＝7.所以x轴上存在定点P(1，0)或P(7，0)，使得MP⊥NP.点睛：本题主要考查椭圆的几何性质以及定点问题，属于难题。本题关键是利用韦达定理求出的表达式，再表示出M,N的坐标。22.已知函数（1）若曲线与在公共点处有相同的切线，求实数的值；（2）若，且曲线与总存在公共的切线，求正数的最小值.【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）根据可求得．（2）根据导数的几何意义可求得函数在点处的切线方程为，由得，由两曲线总存在公切线可得有解，即关于的方程有解，分离参数后转化为函数的最值问题求解即可．试题解析：（1)∵，∴．依据题意得，即，解得．∴.（2）当时，，∴，设切点为，则，∴曲线在点处的切线方程为：，即．由消去y得，∵总存在公切线，∴总有解，即关于的方程总有解.∵,∴,解得，∴方程总有解．令，则，则当时，，单调递减；当时，，单调递增．∴，∴，解得，∴正数的最小值故.点睛：（1）对于一些复杂的问题，解题时要善于将问题转化，转化成能用熟知的导数研究的问题来处理．（2）求解不等式能成立（方程有解）问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域（或最值）的问题．注意以下结论：①有解等价于的范围即为函数的值域；②有解等价于；③有解等价于．