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辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题，则为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根据命题的否定，有量词要改变量词，然后否定结论，所以为：，故选D.2.设等差数列的前项和为，已知，则（）A.B.27C.D.54【答案】A【解析】等差数列的前项和为，，故选3.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当，而，反过来也成立，所以是充要条件，故选C.4.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的离心率故选5.直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：直三棱柱中，分别是的中点，如图，的中点为，连结，且，所以，所以是平行四边形，所以与所成角就是，因为,设，所以，，在，由余弦定理得，故选A．考点：异面直线所成的角．6.已知等比数列中，，则其前三项的和的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D........................7.已知变量满足约束条件，若目标函数的最小值为2，则（）A.2B.1C.D.【答案】C【解析】根据不等式画出可行域，得到三条直线交于三点，目标函数化简可得，根据图像得到当目标函数过点B时，有最小值2，此时故答案为C。点睛：这个题目考查的是线规问题，目标函数是线性的，截距式。常见的目标函数有截距式，斜率式，距离式，面积式，点线距式，解决的方法就是通过变形，发现目标函数是哪一类型，对应求最值即可。注意可行域中直线是实线还是虚线，关系到最值能否取到。8.的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，则的长为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】，，故选9.已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B10.设椭圆与函数的图象相交于两点，点为椭圆上异于的动点，若直线的斜率取值范围是，则直线的斜率取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】设，，因为椭圆和函数的图象都关于原点对称，则从而有由，得，即有则，因为，则有,选D.点睛：研究解几问题，一是注重几何性，利用对称性减少参数；二是巧记一些结论，简约思维、简化运算，如本题利用关于原点对称，为椭圆上三点).11.设数列的前项和，若，且，则等于（）A.5048B.5050C.10098D.10100【答案】C【解析】试题分析：由，则，两式相减，可得，又因为，所以，所以，故选C．考点：数列求和．【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到数列的递推关系的应用、等差数列的通项公式、得出数列的前项和公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的思维量，属于中档试题，本题的解答中根据数列的递推关系式，求解是解得的关键．12.已知双曲线的上焦点为，是双曲线下支上的一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由得则该圆的圆心坐标为，半径为设切点则由与解得，由，得得：代入双曲线整理得：双曲线的渐近线方程为故选点睛：本题考查了双曲线的简单性质，由圆的方程求出圆心坐标，设出点的坐标，由题意列式求出的坐标，再结合，求得的坐标，再把的坐标代入双曲线的方程，即可求得答案。二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由解得或即或，，：若的一个充分不必要条件是则成立，但不成立故实数的取值范围是14.已知正项等比数列的公比为2，若，则的最小值等于__________．【答案】【解析】由题意得：即15.已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是__________．【答案】6【解析】抛物线准线方程为过作直线则当过圆心作直线垂线时，三点共线值最小，则点睛：本小题的考点是圆与圆锥曲线的综合及抛物线的简单性质。首先要求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置，然后根据三点共线求出相应的点的坐标，进一步求得最小值，进而求得答案。16.如图，在直三棱柱中，，已知与分别是棱和的中点，与分别是线段与上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度的取值范围是__________．【答案】【解析】如图，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，，，，，∵，∴，，当时，，当时，（不包含端点故不能取），，∴长度取值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列是等比数列，首项，公比，其前项和为，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：（1）由题意得，，成等差数列，解得，从而求得等比数列的公比，进而得出等比数列的通项公式；（2）由（1）知，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和.试题解析：（1）因为，，成等差数列，所以，所以，所以，因为数列是等比数列，所以，又，所以，所以数列的通项公式．（2）由（1）知，，，所以．故．18.在长方体中，，为中点.（1）证明：；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）.【解析】试题分析：根据已知中长方体中，是侧棱的中点，结合长方体的几何特征，我们可得,结合线面垂直的判定定理即可得到平面,即可得出结论。建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求与平面所成角的正弦值。解析：证明：连接是长方体，平面又平面，在长方形中，，又平面而平面,如图建立空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,则令则所以与平面所成角的正弦值为19.已知数列{满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）若数列是单调递增数列，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）.【解析】试题分析：由数列递推式得到数列是首项为，公比为的等比数列；由得，代入，由求得实数的取值范围，验证满足为增函数，即可得到答案。解析：（1）因为数列满足，所以，即，又，所以，所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列.（2）由（1）可得，所以，因为符合，所以.因为数列是单调递增数列，所以，即，化为，所以.20.如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且平面平面,为中点，.（1）求证：平面平面；（2）若二面角的平面角大小满足，求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由正三角形性质可得，再利用面面垂直的性质定理得平面，从而，则，由线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理可得平面；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，令，求出平面的法向量以及平面的法向量，根据二面角的平面角大余弦值列方程求出，利用棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）取中点为，中点为，由侧面为正三角形，且平面平面知平面，故，又，则平面，所以，又，则，又是中点，则，由线面垂直的判定定理知平面，又平面，故平面平面.（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，令，则.由（Ⅰ）知为平面的法向量，令为平面的法向量，由于均与垂直，故即解得故，由，解得.故四棱锥的体积.【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理、利用空间向量求二面角以及棱锥的体积公式，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.（1）求该抛物线的方程；（2）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线恒过一个定点.【答案】（1）（2见解析【解析】试题分析：联立直线方程和抛物线方程，利用弦长公式列方程解出，即可得到抛物线的方程；设直线的方程，联立抛物线方程得两根之和，计算点的坐标，同理可得点的坐标，运用直线点斜式给出直线方程，讨论斜率问题即可得出定点解析：（1）抛物线的焦点，∴直线的方程为：联立方程组，消元得：，∴∴，解得.∵，∴抛物线的方程为：.（2）设两点坐标分别为，则点的坐标为..由题意可设直线的方程为.由，得.因为直线与曲线于两点，所以.所以点的坐标为.由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.当时，有，此时直线的斜率.所以，直线的方程为，整理得.于是，直线恒过定点；当时，直线的方程为，也过点.综上所述，直线恒过定点.22.如图，在平面直角坐标系中，已知圆，点，点，以为圆心，为半径作圆，交圆于点，且的平分线交线段于点.（1）当变化时，点始终在某圆锥曲线上运动，求曲线的方程；（2）已知直线过点，且与曲线交于两点，记面积为，面积为，求的取值范围.【答案】（1）.(2).【解析】试题分析：推导出，从而，利用椭圆的定义可得点的轨迹方程；设直线，设出点的坐标，推导出，由得到，由此利用根的判别式，韦达定理结合已知条件即可求出的取值范围。解析：（1）∵,∴,∴,∵,∴,由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点,的椭圆，故点的轨迹方程为.(2)由题可知，设直线，不妨设∵，，，∵，∴，，∴，∵，即，∴，∴.点睛：本题考查了椭圆的定义与三角形面积问题，利用三角形全等证明线段相等，结合椭圆定义即可求出曲线方程，要求三角形面积就要确定三角形的底边和高，本题要求面积比，将其转换为纵坐标比值问题，联立直线与曲线方程即可计算。