2015年高考真题理科数学新课标卷

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合{2,1,0,1,2}A，{|(1)(2)0}Bxxx，则ABA．{1,0}B．{0,1}C．{1,0,1}D．{0,1,2}2．若a为实数，且(2)(2)4aiaii，则a=A．-1B．0C．1D．23．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．已知等比数列{}na满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=A．21B．42C．63D．845．设函数211log(2),1()2,1xxxfxx，则2(2)(log12)ff2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年190020002100220023002400250026002700A．3B．6C．9D．126．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A．18B．17C．16D．157．过三点(1,3)A，(4,2)B，(1,7)C的圆交y轴于M，N两点，则||MNA．26B．8C．46D．108．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=A．0B．2C．4D．149．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点。若三棱锥O—ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为A．36πB．64πC．144πD．256π10．如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠AOB=x。将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数()fx，则()yfx的图象大致为ABCD11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ΔABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为A．5B．2C．3D．212．设函数()fx是奇函数()()fxxR的导函数，(1)0f，当x0时，()()0xfxfx，则使得函数()0fx成立的x的取值范围是A．(,1)(0,1)B．(1,0)(1,)42342yx42342yx42342yx42342yxaba=a-bb=b-a输出a结束开始输入a，ba≠b是是否否DPCBOAxC．(,1)(1,0)D．(0,1)(1,)第II卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．设向量a，b不平行，向量ab与2ab平行，则实数λ=__________。14．若x，y满足约束条件1020220xyxyxy，则zxy的最大值为__________。15．4()(1)axx的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=__________。16．设Sn是数列{}na的前n项和，且a1=-1，an+1=SnSn+1，则Sn=__________。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，ΔABD面积是ΔADC面积的2倍。（1）求sinsinBC；（2）若AD=1，22DC，求BD和AC的长。18．（本小题满分12分）某公司了解用户对其产品满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；A地区B地区456789（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件的概率，求C的概率。19．（本小题满分12分）如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值。20．（本小题满分12分）已知椭圆C：2229(0)xymm，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点(,)3mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。21．（本小题满分12分）设函数2()mxfxexmx。（1）证明：()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；（2）若对于任意12,[1,1]xx，都有12|()()|1fxfxe，求m的取值范围。请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与ΔABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且23AEMN，求四边形EBCF的面积。23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1：cossinxtyt（t为参数，t≠0），其中0≤απ，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3：23cos。（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求||AB的最大值。24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若abcd；则abcd；（2）abcd是||||abcd的充要条件。GAEFONDBCMDD1C1A1EFABCB1